Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мак-Витти Г.К. -> "Общая теория относительности и космология" -> 16

Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.

Мак-Витти Г.К. Общая теория относительности и космология — М.: Иностранная литература, 1956. — 283 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 85 >> Следующая

внутреннее произведение контравариантного
вектора У1, ковариантного вектора Xv и величины -f- j^j У*1-
В силу теоремы о частном последняя величина должна быть компонентой
тензора 2-го ранга, контравариантного по индексу v и ковариантного по
индексу а. Этот тензор называется ковараантной производной исходного
вектора У*1
и обозначается через У%; для обозначения того, что этот тензор есть
ковариантная производная, используется запятая, так что
1'--=4?1+{"}'л (2'401)
Внутреннее произведение ковариантной производной от У*1 с единичным
тангенциальным вектором геодезической линии является контравариантным
вектором, который может быть записан в виде
+ <2-402>
Этот вектор называется полной ковариантной производной исходного вектора
У11. Если в качестве вектора У1* выбрать
4*
52 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
единичный тангенциальный вектор, то из (2.305) следует, что полная
ковариантная производная единичного тангенциального вектора равна нулю.
Таким образом, геодезические линии - это кривые, единичные тангенциальные
векторы которых имеют нулевую полную ковариантную производную.
Инвариантность вдоль геодезической линии внутреннего произведения
ковариантного вектора U и единичного тангенциального вектора определяет
ковариантную производную U от U Имеем
где
dUa [ а )
и"*=и*-Ци- (2-403)
- ковариантный тензор 2-го ранга (в силу теоремы о частном).
Процедура ковариантного дифференцирования тензоров, ранг которых выше
первого, состоит в образовании скаляра при помощи составления внутреннего
произведения тензора с единичным тангенциальным вектором геодезической
линии и применении к этому скаляру операции d/ds. Тогда, если К " -
ковариантный тензор 2-го ранга, то величина VW - скаляр, и, используя
(2.305), мы имеем
w (>',."') = {^ (г" ¦- {; 1 К,,} пт.
В силу теоремы о частном набор величин
(2-404)
является контравариантным тензором 3-го ранга и представляет собой
ковариантную производную от тензора К^. Ковариантная производная
смешанного тензора 2-го ранга X) есть
(2-405)
а ковариантная производная контравариантного тензора 2-го ранга Zb есть
7xv _ dZu , ( I
j 1 J Z" + { v jzx'. (2.406)
дх *
Сравнение формул (2.404), (2.405) и (2.406) с формулами (2.401) и (2.403)
показывает, что члены, включающие сим-
§ 2.4. Ковариантное дифференцирование
S3
волы Кристоффеля, в первых трех упомянутых формулах подчиняются
следующему правилу:
Каждый ковариантный индекс исходного тензора приводит к возникновению
члена, содержащего символ Кристоффеля; этот член имеет такую же форму,
как соответствующий член в ковариантной производной ковариантного
вектора; каждый же контравариантный индекс приводит к возникновению
члена, аналогичного члену в ковариантной производной контравариантного
вектора.
Как может убедиться читатель, это правило сохраняет свою силу в случае
тензора любого ранга.
Процедура ковариантного дифференцирования может быть применена к
метрическим тензорам g , gv-'' и 8:^. Используя
(2.304) и (2.404), получаем
_ dg^ / а \ j 0 \ " __
дхх (jxXj^ \ Ъ / &V*
дхх
dg^ 1 ( dg^ . dgh, dg^ \
Ч(
дх'-'-
v) - (VA, |i) =
dgн-v dg\i
дх1' дх!-'-
dgiy. dg,i \
дх* дх'-'- / '
дх1 2 \ дх'- 1 дх' дх' .)
dg-,i
- 0,
и, следовательно, ковараантная производная метрического тензора равна
нулю. С другой стороны,
и так как g^glw - 8[), то и ковариантная производная от gb равна нулю.
Таким образом, при ковариантном дифференцировании все три фундаментальных
тензора можно считать постоянными.
Имеется важный тензор, который можно получить из ковариантной производной
некоторого заданного тензора 2-го ранга и который называется векторной
дивергенцией последнего. Для того чтобы показать, как получается
векторная дивергенция, используем следующий результат о сумме символов
Кристоффеля: если g - определитель, составленный
54 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
из метрических коэффициентов, то по правилу дифференцирования
определителя имеем
^ (алгебраическое дополнение gXfL в g) X
дх
X, р.
Но
^ дх'1 8 8 дх'>
|Х , д8" ^xv\ 1
I Xv J 2 8 \ дх* ' дхх дх3 / 2
Поэтому
X ) 1 1 dg 1 dining
дх~*
Xv / 2 g дх* Yg дх> дх*
(2.407)
Рассмотрим теперь контравариантный вектор Vх и пусть - его ковариантная
производная; тогда Ух является скаляром, называемым дивергенцией Vх. Этот
скаляр
V х AYL ! I х=
дх^ ^ \ vX (
, 1 dYgy,_ d(fg 1Л) ^ (2 408)
дх* Yg дх* Y g дх^
Пусть, с другой стороны, - контравариантный тензор
2-го ранга и Т: ^ - его ковариантная производная; тогда 7^ есть некоторый
вектор, ассоциированный с Т^ и называемый его векторной дивергенцией.
Формула для векторной дивергенции имеет вид
1 d(Vgnx) . ( (Л
{?}г\ (2.409)
Y g дх*
Имеется, однако, и вторая векторная дивергенция, которая получается
свертыванием по первому контравариантному индексу тензора Т^, а именно
§ 2.5. Тензор Римана-Кристоффеля и тензор Риччи 55
Эти две векторных дивергенции равны, если тензор Т^- симметричный, т. е.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed