Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
Однако мы дадим доказательство только для риманова пространства, которое
допускает координатные системы, в которых метрика ортогональна, т. е.
П
ds2 - 2 ЧЧхх 0*0 (dxx)2, (2.601)
Х=1
гДе ёхх = ЧЧхх и Ч равны -f-1 или - 1. Пусть точка О имеет координаты
(х0). Рассмотрим координаты
Xх = $ (х0) (У - 4), (X = 1, 2, . .., п), (2.602)
62 Глава 11. Тензорное исчисление и риманова геометрия
причем условие суммирования временно не имеет силы. Дифференциалы этих
координат равны
что совпадает с метрикой (2.510) плоского производства. Координаты Хх
называются локальными декартовыми координатами и справедливы для тех
достаточно близких к О точек, для которых разности fV" (х) - ^ (x0j не
превосходят по порядку Xх - хх. Если пространство плоское, то можно
проинтегрировать дифференциальные уравнения
это процедура, которая не может быть осуществлена в искривленном
римановом пространстве.
Второй важный тип локальных координат называется ри-мановыми
координатами. Можно показать, что в начале римановых координат символы
Кристоффеля первого и второго рода и первые частные производные от g ,
равны нулю. Доказательство этой теоремы таково. Пусть О - заранее
выбранная точка с координатами (х0). Рассмотрим семейство геодезических
линий, которые проходят через точку О, причем каждая геодезическая линия
задается ее единичным тангенциальным вектором Хц в О. Используя значок
"нуль" для обозначения числового значения, подсчитанного в точке О, из
(2.305) имееем
(IX1 = (х0) dxxt
(2.603)
и, подставляя в (2.601), приводим метрику к виду
П
ds2 = 2 ех (dXx)2,
(2.604)
(2.605)
и, дифференцируя (2.305) по s, получаем
(2.606)
где
§ 2.6. Локальные декартовы и римановы координаты 63
Дальнейшие дифференцирования (2.305) по $ дали бы значения более
высоких производных от Хо, однако для наших
целей они не нужны. Рассмотрим теперь точку Р на одной
из геодезических линий, проходящих через О, причем будем считать, что
интервал равен нулю в О и равен S в Р. Тогда координаты точки Р могут
быть выражены через координаты точки О при помощи ряда Тейлора, а
именно
а з , ,, . 1 / rfX3 \ " 1 / d4" \ ,
X _ Jfo + XoS+g-+-б(-^2)0" + ....
(0=1,2.......п),
что по (2.605) и (2.606) равно
X* = Хо -ф- Хц$ 'З" I jxv lo ""У "б" Ч~ • • • •
0 (2.607)
Предположим, что введена новая система координат с началом в О, в которой
координаты Р будут
/ = Хоs, (о = 1, 2, ..., га). (2.608)
Тогда (2.607) приобретает вид
-= Г -+ .... (2.609)
что представляет собой формулы преобразования от системы (х) к системе
(у), справедливые внутри области сходимости ряда, стоящего в правой части
равенства. Метрика пространства есть
ds2 = (х) dxv- dxv
и превращается в
ds2^=g'^(y)dy^dy\
если система координат преобразуется по (2.609). В системе (у) уравнения
геодезической линии имеют вид
где штрих указывает, что символы Кристоффеля подсчитаны для ?^(у). Однако
окончательные уравнения геодезических линий в системе (у) - это выражения
(2.608), которые
64 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
должны быть решениями дифференциальных уравнений (2.610). Подстановка
дает в точке О
и так как Xq может характеризовать любую геодезическую линию, проходящую
через О, то отсюда следует, что
Поэтому, в силу (2.304), все символы Кристоффеля первого рода также равны
нулю в точке О, и из (2.304) и (2.503) вытекает, что
(= 0, (а, р, v - 1, 2.......п).
\ ду° /о
Это завершает доказательство теоремы. Отсюда следствие: в начале
римановых координат ковариантные производные сводятся к обычным частным
производным.
§ 2.7. Тождество Бьянки и тензор Эйнштейна
С помощью римановых координат может быть установлено одно тождество,
называемое тождеством Бьянки, которое является фундаментальным в теории
относительности. Если О - некоторая точка риманова пространства, в
которой введены римановы координаты (у), то выражение для смешанного
тензора Римана - Кристоффеля, подсчитанное в точке О, с учетом (2.501) и
результатов предыдущего параграфа, равно
Переставляя циклически индексы р, v, т и складывая полученные равенства,
мы получаем тождество Бьянки
а ковариантная производная этого тензора равна
(2.701)
$ 2.7. Тождество Бьянки и тензор Эйнштейна
65
Хотя это тождество было получено при помощи специальной системы
координат, оно является тензорным равенством и поэтому справедливо в
любой координатной системе. Предположим поэтому, что (х) - произвольно
выбранная система координат в римановом пространстве. Свертывая (2.701)
по индексам о и v, получаем
Rxy., х 4- Rhx, ц Rlтщ о ~ 0.
Вспоминая, что могут рассматриваться как постоянные при ковариантном
дифференцировании, имеем
Rv-, t ~Н (ё ?R^%), p. -|- (gl?RxтД о = 0.
Но в силу свойств симметрии (2.505) тензора Римана -Кристоффеля
= -Лххс = - Rl g^RLy. =* g'9ga%RvixV. - g^g}fR,,n.z = gaxR{^.
Поэтому
Ry.,t-Rr, y {g o = o,
или, свертывая индексы p и т,
Rlt-Rg*tlV. + (gnR4),o = 0.
Меняя в последнем члене индекс суммирования с на р, перепишем последнее
