Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
если его компоненты таковы, что = Тvi\ В других случаях эти две векторные
дивергенции, полученные из данного тензора 2-го ранга, не совпадают.
§ 2.5. Тензор Римана - Кристоффеля и тензор Риччи
Имеются два важных тензора, один 4-го ранга (R\v.^) и один 2-го ранга
(Ri^), которые включают первые и вторые частные производные метрических
коэффициентов и возникают при повторном применении операции ковариантного
дифференцирования к тензорам. В обычном (дифференциальном) исчислении,
если F (х) - функция п переменных х}\ операция частного
дифференцирования, примененная к первой
частной производной -------, дает вторую частную производ-
ил:^
d2F
ную ---------, которая независимо от выбранной функции F
dxv' дх'
d2F
обладает специальным свойством быть равной------------. Повто-
дх' дх'1
рение операции ковариантного дифференцирования приводит, конечно, ко
второй ковариантной производной (некоторому тензору), которая, однако,
вообще говоря, не будет обладать свойством симметрии обычной второй
частной производной. Пусть -первая ковариантная производная вектора Vx и
пусть X1 - как обычно, обозначает единичный тангенциальный вектор
геодезической линии. Тогда с помощью (2.404) имеем
V -/Ч-
v-v дх4 \ Ъ J ^ ( [jlv j
¦Vx" =
d2V) I z ) dV- ( | dV^ (t) dVT
dx''' dxw { Xv J dx* ( jj-v j dxT ( Xjj. j dxv
- ^ эк {i} т.+1 (,} {;T} ¦
что представляет собой компоненту Vx> второй ковариантной производной
вектора полученной первым ковариант-ным дифференцированием по л:11 и
затем по xv. Если обратить порядок этих двух ковариантных
дифференцирований,
56 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
то мы получим компоненту VXj второй ковариантной производной. Так как
разность двух тензоров есть тензор, величины Vx>iiv - Vx.vj,, суть
компоненты некоторого ковариантного тензора 3-го ранга и
В силу теоремы о частном выражение в квадратных скобках должно быть
компонентой некоторого тензора 4-го ранга, контравариантного по индексу а
и ковариантного по индексам X, jx и у. Этот тензор, называемый тензором
Рамана - Кристоффеля, обозначается через
и строится исключительно из компонент метрического тензора и их первых и
вторых частных производных. Важность этого тензора заключается в том, что
он является наиболее сложным тензором риманова пространства,
непосредственно связанным с метрикой пространства. Ковариантная форма
тензора Римана - Кристоффеля имеет вид
(2.501)
и, так как gn< ^ = О,
= х) + (х1х, а).
(2.503)
§ 2.5. Тензор Римана-Кристоффеля и тензор Риччи
57
Следовательно,
дх'
(Ь, у.) -
дх
(Ь, е)
<>ga
дх'-1-
(Хц, •/.)--(Хц, s)
dxv
cj)([xs, %) - (X|x, a)(ev, и)].
Меняя местами индексы суммирования е, о в последних квадратных скобках и
используя (2.503), получим
Я,
Xp.v
¦(Ь, у.)
дхр- ' ' ' дх
+ gsa[(^. e)(*v, о)
- (Х{х, у.) -f-
(Xv, в) ([Х'Л, о)].
Подставляя в первые два члена предыдущей формулы полные выражения для
символов Кристоффеля первого рода
(2.304), получим следующее выражение для ковариантной формы тензора
Римана - Кристоффеля:
Я
xXp.v
d2g".
d2gi-,
d2g*
дх^дх" дх"дх% дх"дх% дх" дх1 e)(xv, a) - (Xv, е)(у.[х, о)].
+
(2.504)
Отметим, что "опущенный" индекс в ковариантной форме тензора Римана -
Кристоффеля стоит на первом месте из четырех ковариантных индексов.
Учитывая это условие расположения индексов, мы можем отметить следующие
свойства симметрии и антисимметрии тензора Римана - Кристоффеля:
Перестановка местами ковариантных индексов в последней паре меняет знак
компоненты тензора, т. е.
(2.505)
следовательно, этот тензор является антисимметричным по отношению к этим
двум индексам. Из формулы (2.504) вытекает, что тензор антисимметричен
также по отношению к первой паре индексов и симметричен по отношению к
одновременной перестановке индексов в первой и второй паре, т. е.
Я.
xXjxv '
= - Ях
AXJ1V'
Я
xXp,v
Я
Ъ.ч и
(2.505)
58 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
Более того, тензор симметричен по отношению к перестановке местами пар
индексов без изменения порядка следования индексов внутри каждой пары, т.
е.
R^-R^,- (2.505)
Наконец, компоненты тензора удовлетворяют условию цикличности, которое
может быть установлено следующим образом. Пусть F - скалярная функция
положения, тогда
dF OF ^
ds дх;х
- скаляр "переноса"1 вдоль геодезической линии. В силу теоремы о частном
X - др
-ковариантный вектор, ковариантная производная которого такова, что
0XV ( с | v 02F j a j OF
^v dxv j [iv ) 3 dxv' Ox'1 | fiv J dxa v' ^
Следовательно, X vX - 2CV, и справедливо следующее алгебраическое
тождество:
Хр., vX Хр, Xv i х^ *х, *х, 0.
Однако, по определению тензора Римана - Кристоффеля, имеем
Хр3 vX Xp.t Xv R^Xa,
и тождество, данное выше, приобретает вид ^(^х+^хр + ^хрт) = 0-Однако
скалярная функция F - произвольна и, следовательно, tfxV + tfpvx + Rv3xp
= 0. (2.506)
Результатом обсуждения свойств симметрии и антисимметрии является вывод о
том, что число независимых компонент тензора Римана - Кристоффеля равно
