Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
не /г4, а намного меньшему числу. Можно показать [2], что в случае я-мер-
§ 2.5. Тензор Римана-Кристоффеля и тензор Риччи
59
ного риманова пространства число независимых ковариант-
п2 (п2 - 1) ных компонент равно --- •
В приложениях тензорного исчисления к теории относительности очень важную
роль играет симметричный тензор
2-го ранга, называемый тензором Риччи, который получается свертыванием
тензора Римана-Кристоффеля. Свертывая в (2.501) контравариантный индекс с
последним из трех ковариантных индексов, получим одну из компонент
тензора Риччи
-СЦРН'РРГ1^. (2.507)
дх^ дх^ дх° \ Хр. / \ Ха J \ рт J \ Xjjl J дх'
Смешанная форма этого тензора есть, конечно, = gx<7R^.< из которой
свертыванием может быть получен скаляр, называемый инвариантом кривизны
[3], а именно
l§ = g>"ReX. (2.508)
Тензор Римана - Кристоффеля называется также тензором кривизны, так как
он является мерилом свойства риманова пространства, аналогичного кривизне
двумерной поверхности. Эта точка зрения на тензор Римана - Кристоффеля
имеет, с точки зрения автора, большее значение для тех, кто интересуется
геометрическими приложениями тензорного исчисления, чем для тех, кто
работает в области теории относительности. Тем не менее, представляет
определенный интерес показать на примере рассмотрения сферической
поверхности, как осуществляется связь тензора Римана - Кристоффеля с
понятием кривизны. Если сфера имеет радиус а, то по (2.203) метрика ее
поверхности имеет вид
ds2 = a2 (d62 + sin2 0 df2),
и, вводя обозначения 0 = х1, f = x2, имеем следующие отличные от нуля
метрические коэффициенты и ассоциированные с ними функции:
gu = a2, g22 = a.2 sin2 0,
g = a4 sin2 0, gu = a~2, g22 = a~2 sin-2 0.
60 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
Отличные от нуля символы Кристоффеля имеют вид (12, 2) = (21, 2) - -
(22,1) = a2 sin 0 cos 6,
Ш = -Тй"29'
Соотношения (2.505) и (2.506) показывают, что имеется только одна
независимая компонента ковариантного тензора Римана - Кристоффеля, в
качестве которой можно взять RU2i-равную, в силу (2.504),
Rm\ = - a2 sin2 9. (2.509)
Из формулы (2.507) следует, что тензор Риччи имеет две ненулевые
компоненты, а именно
Rn = -1, 7?22 - - sin2 0,
тогда как инвариант кривизны равен
п>. 11 п , 22 г, 2
Rl = g Яц-t-g #22=-^r-
Известно, что гауссова кривизна сферы радиуса а равна 1/а2, и последний
результат показывает, что инвариант кривизны пропорционален гауссовой
кривизне. Однако даже в этом простейшем возможном случае ни тензор Римана
- Кристоффеля, ни тензор Риччи, ни даже инвариант кривизны не могут быть
записаны в простом виде при знании гауссовой кривизны риманова
пространства. Когда пространство имеет более двух измерений, связь этих
тензоров с "кривизной" пространства оказывается еще более отдаленной [4],
и потому мы не будем здесь рассматривать эту связь, а ограничимся
следующими замечаниями. В некоторых римановых пространствах п измерений
оказывается возможным найти систему координат (А"), покрывающую все точки
пространства, в которой метрика приобретает вид
п
йв2==2вх(^)2, (2.510)
Х = 1
где ех - положительные или отрицательные константы. Тогда из (2.304)
следует, что все символы Кристоффеля тождественно равны нулю, и из
(2.504), (2.507) и (2.508) следует,
§ 2.6. Локальные декартовы и римановы координаты 61
что тензор Римана - Кристоффеля, тензор Риччи и инвариант кривизны все
тождественно равны нулю. Такие пространства называются плоскими по
аналогии с эвклидовой плоскостью, метрика (2.201) которой имеет вид
(2.510) при использовании декартовых координат. Итак, тензор Римана -
Кристоффеля является показателем неискривленности (или искрив-лености)
риманова пространства [5]: если пространство
плоское, этот тензор тождественно равен нулю, и нулевой характер тензора
не может быть изменен никаким преобразованием координат. Таким образом,
искривленность является свойством, внутренне присущим риманову
пространству, и не зависит от выбора системы координат, в которой мы
записываем метрику. Примерами плоских трехмерных пространств являются
обычное эвклидово пространство с метрикой (2.202) и пространство, метрика
которого определяется (2.206). Риманово пространство, которое не является
плоским, мы будем называть искривленным. Читатель не должен, однако,
представлять себе, что этот термин означает своего рода "изогнутость11
пространства. Для целей нашей книги понятие "искривленное пространство11
означает просто такое пространство, тензор Римана - Кристоффеля которого
отличен от нуля по крайней мере в одной точке этого пространства.
§ 2.6. Локальные декартовы и римановы координаты
В римановом пространстве п измерений имеются некоторые типы специальных
координатных систем, которые полезны для описания точек, лежащих в
окрестности произвольно заданной точки О. Первой системой такого рода
является локальная декартова система координат, которая может быть
введена вблизи произвольной точки риманова пространства любого типа.
