Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
произведения действительно являются тензорами, рассмотрим закон
преобразования, например
-рДр-е'я дх/' дх'11' дх/ дх71 дх' __
1 oxv -----------------------т ~ 1 о-пС -
дхР дха дх"- дх' дх
дхдх'* дхс ст =---------------г 1 •Ьрс.
дх1 дхх дх'
что является законом преобразования тензора 3-го ранга с одним
контравариантным индексом и двумя ковариантными
индексами. Таким образом операции свертывания и образо-
вания внутреннего произведения приводят к изъятию двух индексов (одного
контравариантного и одного ковариантного) из исходных символов.
Процедура образования внутреннего произведения весьма полезна при
определении тензорного характера некоторого набора функций координат с
помощью так называемой теоремы о частном, которая гласит:
§ 2.1. Точечное многообразие. Тензоры
35
Всякий набор функций координат, внутреннее произведение которого с
некоторым произвольным ковариант-ным (или контравариантным) вектором есть
тензор, представляет собой совокупность компонент некоторого тензора.
Доказательство этой теоремы достаточно проиллюстрировать на примере
применения этой теоремы к набору п2 функций, которые можно обозначить
через Т(К, р.) (К, ;х=1, 2, . . ., п). Пусть известно, что внутреннее
произведение
П
~2!iUxT(k, р.) этих функций с некоторым произвольным ковала
риантным вектором (Д дает некий контравариантный вектор УД Совершая
преобразование координат, имеем
fulfil, v.) = V'* = ^rV
Х=1
¦s?{W4
V = 1 U = 1 >
Если, однако, поменять местами в формуле (2.107) штрихованные и
нештрихованные символы, то мы получим
и, следовательно,
%и',т\к ">)
Х = 1 v = l u = l J
или
S и; | Г (р. rt - ? j *? ^ Т(Х, V) U 0.
Р=1 I V=1X=1 J
Однако вектор (Д произволен, и поэтому
v=lХ = 1
3*
/Р
36 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
откуда видно, что ге2 функций Т(р, р.) преобразуются по закону (2.109) и,
таким образом, являются компонентами некоторого контравариантного тензора
2-го ранга.
С помощью теоремы о частном можно найти имеющий большое значение
смешанный тензор 2-го ранга. Рассмотрим п2 величин 8^, где
, ( 0, если X tx,
8,i = { . > (X, р, = 1, 2......ге). (2.112)
^ (1, если X - [х, г 7 4 '
Пусть Uv - произвольный ковариантный вектор, тогда
Ьуи~, - Uр., и поэтому внутреннее произведение §?. с произвольным
ковариантным вектором есть ковариантный вектор. Таким образом, 8^. суть
компоненты смешанного тензора 2-го ранга. Более того, компоненты этого
тензора имеют одни и те же значения во всех системах координатх), так
как, переходя к новой системе координат, имеем
*¦ -,Х дх? ^ ;К ' - ' ,х
Ом =------------ 0" = ¦
Т дх' дхР gp дх' дха _ дх'1
дха dx'1*' дх" дх,|х дх'2"
0, если X Ф [х,
1, если Х = [х.
Таким образом,
8,1 =§?. (X, jx= 1, 2.re).
§ 2.2. Риманово пространство
Рассматривавшееся до сих пор точечное многообразие не обладало
определенной структурой; в частности, не было дано определения
"расстояния" между парой точек многообразия. Для такого определения роль
путеводной нити может сыграть случай поверхности, или двумерного
многообразия. Простейшим примером поверхности является эвклидова
плоскость, на которой введены декартовы координаты. Если (X, К) и (X-\-
dX, Y-\-dY) - две соседние точки этой пло-
¦) Предыдущее являлось доказательством этого утверждения, последующее
дает более простое доказательство того же. - Прим. ред.
§ 2.2. Риманово пространство
37
скости, то, согласно теореме Пифагора, расстояние ds между этой парой
точек равно
ds2 = dX2-\-dY2. (2.201)
Эту формулу называют выражением для метрики многообразия, и можно
показать, что она содержит в себе наиболее существенные черты геометрии
плоскости, в частности, что прямая линия является кратчайшим расстоянием
между двумя точками, что параллельные линии имеют бесконечную длину и не
пересекаются в конечной части плоскости и т. п. Важно отметить, что оба
коэффициента при квадратах dX и dY в формуле (2.201) равны единице; кроме
того, из-за отсутствия члена с dXdY метрика называется ортогональной. Эти
свойства, однако, обусловлены использованием декартовой системы координат
и исчезают при введении других типов координатных систем. Например,
выраженная через полярные координаты {г, 6), где 2^= г cos 6, Н = r sin
0, метрика приобретает вид
ds2 - dr2 -)- г2 dd2,
и коэффициенты при квадратах dr и <20 равны 1 и г2 соответственно, в то
время как свойство ортогональности не нарушается. Однако, если ввести
систему координат {и, v),
где X=uv, Y - (u2-{-v2), метрика превращается в
ds2 = (и2 -|- v2) du2 ф- Auv du dv ф- (и2 ф- v2) dv2,
причем коэффициенты при квадратичных по du и dv членах равны (и2 v2\
Auv и (и2ф-,и2) соответственно, так что
свойство ортогональности оказывается замаскированным *) при использовании
этой системы координат. Таким образом выражение метрики многообразия с
частным случаем геометрии (в данном случае геометрии эвклидовой
плоскости) может принимать много форм в соответствии с применяемой
координатной системой, и сведение одной формы к другой в том случае,
