Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
когда преобразование координат a priori не известно, является весьма
трудной задачей.
*) В двухмерном римановом пространстве всегда можно ввести ортогональные
координаты, так что свойство ортогональности есть свойство системы
отсчета, а не пространства. --Прим. ред.
38 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
В трехмерном эвклидовом пространстве при использовании декартовых
координат (X, Y, Z) метрика имеет вид
ds2 = dX2ArdY2 + dZ2, (2.202)
опять-таки в согласии с теоремой Пифагора. Если совершается
преобразование координат (2.102) с обозначениями
*1 = *, х2 - Y, х3 - Z,
Х,х-Г, х'г-д, ;е/3 = ср, то метрика превращается в
ds2 = dr2 -j- г2 db2 -|- г2 sin2 0 dtp2.
Поэтому метрика двумерной поверхности, образованной точками, лежащими на
поверхности сферы радиуса а, есть
ds2 = и2 (db2 -|- sin2 0 dy2). (2.203)
Геометрия поверхности сферы существенно отличается от геометрии
эвклидовой плоскости: прямые линии заменяются большими кругами сферы,
которые имеют конечную длину и обязательно пересекаются, так что здесь
нет параллельных прямых в эвклидовом смысле, и т. д. Это различие в
геометрии находит свое отражение в том, что не существует преобразования
координат, которое бы переводило (2.203) в (2.201), или наоборот. Таким
образом, не только метрика данного двумерного многообразия может
принимать много форм в соответствии с используемой координатной системой,
но имеются многообразия с существенно различными геометриями, метрики
которых не могут быть переведены одна в другую при каком бы то ни было
преобразовании координат. Позднее будет показано, как может быть
проведено различие таких геометрий друг от друга.
• Имеется преобразование формулы (2.203), которое понадобится
впоследствии и которое можно пблучить, положив
sin 0 =----r-~r, (2.204)
где г - безразмерная переменная, которую не следует путать с радиусом-
вектором полярной системы координат эв-
§ 2.2. Риманово пространство
39
клидовой плоскости. Метрика (2.203) превращается в
При возрастании 0 от нуля до я, г возрастает от нуля до 2
Предыдущие выражения для метрик двумерных и трехмерных многообразий имели
одну общую черту: будучи выражены в ортогональной форме, они содержат
только положительные члены. Однако это не обязательно должно быть так, и
введение отрицательных членов является одним из способов получения
многообразий, которые не обладают эвклидовой геометрией. В качестве
примера рассмотрим трехмерное многообразие, отличающееся от трехмерного
эвклидового пространства тем, что его метрика имеет вид
Если координаты заменяются на (г1, б, ср), где
Х= r} sh 0 coscp, Y - rx sh 0 sin cp, Z = rjCh0, то метрика приобретает
вид
и метрика поверхности гх = а, где а - постоянная, есть
- выражение, аналогичное (2.205). Очевидно г = 0 при 0 = 0 и возрастает
до г = 2 при 8->оо.
После этого предварительного знакомства с двумерными многообразиями мы
можем перейти к общему случаю "-мерного многообразия. Риманово
пространство - это точечное многообразие, в котором "расстояние" между
соседней парой точек (х) и (х-\-dx) есть скаляр ds, выражение
ds2 - drt + Pdy*
(2.205)
стремится к бесконечности при б->тг.
ds2 = dX2-±-dY2 - dZ2.
(2.206)
ds2 = - dr2 -f- r\ d№ + r2 sh2 0 dy2
ds2 - a2 (d 02 -j- sh2 0 dy2). Если в этой формуле мы положим sh б -
то по-
(2.207)
40 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
которого через координаты называется метрикой и определяется формулой
где g-функции координат (х). Они называются метрическими коэффициентами;
предполагается, что они симметричны отно.сительно индексов
ческих коэффициентов. Предполагается также, что определитель g,
элементами которого являются g
§12 • • ¦ ?т
не равен тождественно нулю. Наконец, ds будет называться интервалом между
(х) и (x-f-dx) (термину "интервал" будет даваться предпочтение по
сравнению с термином "расстояние").
В большинстве приложений риманова пространства к общей теории
относительности будут рассматриваться специальные типы пространств, в
которых .§-^ = 0, если Ф v; мы будем называть их ортогональными. Отличные
от нуля g не обязательно положительны: разность между числом
положительных и отрицательных g называется сигнатурой метрики. В наиболее
общем римановом пространстве невозможно найти такую систему координат, в
которой выражение для метрики является ортогональным, однако вблизи
некоторой заранее выбранной точки пространства могут быть введены
координаты, в которых выражение для метрики является ортогональным.
Вблизи этой точки метрика имеет определенную сигнатуру, которая не может
быть изменена переходом от одной системы координат к другой.
Теперь будет доказано, что функции gсуть компоненты ковариантного тензора
2-го ранга, который называется метрическим тензором. Так как ds-скаляр,
то
ds2 = g^dx* dxv
(2.208)
Таким образом имеется -itt(n-j-l) независимых метри-
g - §2\ §22 • • • §2п
(2.209)
I §п\ §п2 • • ¦ §пп
ds2 = g'u dx'k dx'* = ghi dxx dx*,
§ 2.2. Риманово пространство
