Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛ. 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Волна, локализованная- на поверхности, распространяющаяся вдоль нее
(например в направлении х) и экспоненциально спадающая в направлениях +z,
и,-z, будет описываться выражениями
Е = -Vq)j ф =ф0 ехр \i(kxx- и?)]ехр(-&|z|). (2.129)
Когда к = кг, выражения (2.129) описывают поле, ротор, а также
дивергенция которого равны нулю*).
Мы еще должны связать две экспоненциально спадающие части поверхностной
волны посредством условия непрерывности D на! поверхности. Это дает
условие для е (°°) и определяет частоту со.; Получаем, что е = -1 (см.
ниже), и, следовательно, из (2.128) находим t
ю = ют о)+ 1 (ют < ю < 0)L). (2.130)
Таким образом, мы показали, что - в добавление либо к соленои-дальным,
либо к безвихревым решениям (ч. 1.36.5),- еще возможны соленоидальные и
одновременно безвихревые решения в ограниченной среде, соответствующие
поверхностным возбуждениям. Для более подробного рассмотрения мы обобщим
модель путем включения всех уравнений Максвелла (переход от поверхностных
фононов к поверхностным поляритонам, см. ч. II, § 65) и выбором другой
геометрии. Вместо полуограниченной среды мы рассмотрим пластину толщиной
2а. Поверхности лежат в плоскости х, у при z = =Ь а. Мы описываем среду в
континуальном приближении (предельный случай длинных волн) посредством
зависящей от частоты диэлектрической проницаемости (2.128).
Уравнения Максвелла, которые необходимо решить, имеют вид
V • (еЕ) = 0, V - Н = 0, v хЕ = - Н, vxH"-jeE. '(2-131)' Мы ищем решения
типа j .
' Е = E(z)ехр[гД&*? - ("?)], Н = H(z)ехр[i(k*x -o)Z)]. (2.132)
Подставляя эти выражения в уравнения (2.131), после преобразований
получаем
д^Е дЕ
= а2Ех, ~=- ikxExt (2.133)
OZ
где а2 = - е (и/с)2. Из этих уравнений следуют решения в
среде:
Ех (z) = ехр (az) q= ехр (- <xz)l к
Ег (z) = - i-?- [ехр (аz) ± ехр (- az)]t (2.134)
*) Т, е, безвихревое и соленоидальное поле. (Примеч. пер.)
> \
8 27. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ФОНОНЫ, ПОЛЯРИТОНЫ И ПЛАЗМОНЫ J25
в то время как во внешнем пространстве z > а мы находим экспоненциально
спадающие решения:
л fc
Ех (z) ='А ехр (- a0z), Ег (z) = i А ехр (- a0z),
(2.135)
2 \ 1/2
и, соответственно, для z < -a.
Требования непрерывности для Ег и Dx = е(а)Ех на поверхности z = а
приводят к следующему условию:
а Г<
ехр (- аа) + ехр (аа) ехр (- аа) ± ехр (аа)
(2.1 зе>
Для больших толщин пластины выражение (2.136) приобретает вид е = -
|a/a0l, из которого после подстановки выражений для а и а0 получаем ч
и
- кхС
е (со) -j- 1 е(ш)
(2.137)
Когда.А* велик, отсюда получаем е(со) ->-1 и, следовательно, выражение
(2.130)..
Для малых толщин пластины появляются объемные колебания* которые
определяются граничными условиями на двух поверхностях. Поверхности в
таком случае определяют весь колебательный спектр пластины. Обычные
объемные колебания в неограниченной среде и дополнительно локализованные
поверхностные колебания получаются только для больших толщин.
Решения (2.134-2.136) содержат, однако, даже больше информации. Во-
первых, видим, что решения, которые экспоненциально спадают вдали от
поверхности, возможны лишь для кх><й!с. Для кх < а/с величина а0
становится мнимой. Выражения (2.135) описывают волны, которые
распространяются наружу.
Во-вторых, выражение (2.136) ведет к ограничению возможного диапазона и.
Для толстых пластин получаем е=-|a/a0l, т. е. отрицательную величину е.
Согласно выражению (2.128) это может быть выполнено, только когда сот < ю
< cdl-
Полный анализ уравнений Максвелла приводит тогда к следующей картине
(рис. 36): каждая мода колебаний типа (2.132) для системы вакуум -
пластина - вакуум может быть создана суперпозицией (в обоих направлениях
оси z) незатухающих распространяющихся и затухающих стоячих волн в среде
и_ затухающих нару-.жу или распространяющихся волн в вакууме.
Диаграмма со - кх может быть разделена на области, в которых возможны
только опредёленные типы волн. В области Ьг на рис. 36
126
ГЛ. 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ 'СОСТОЯНИЯ
возможны Только локализованные поверхностные волны. Области i?lri?a,
i?!/содержат в себе волны, которые распространяются в вакуум и связаны с
волнами, распространяющимися в среде (Rlt Ri')r, или волнами, которые
затухают внутрь пластины (#2). В пределах Ly и Lyi находим волны,
соответственно затухающие снаружи и не затухающие внутри. В области N
невозможны никакие решения.
Выше мы коснулись только одного аспекта поверхностных колебаний. Ясно,
что при малых размерах кристалла (кристаллиты, по-
рошки, тонкие пленки) колебательный спектр почти полностью определяется
поверхностями. Это проявляется в инфракрасном поглощении. Обнаруживаются
абсолютно различные формы колебаний пленок, цилиндров, сфер и других
геометрических конфигураций.
Поверхностные колебания в больших образцах, однако, также заслуживают
нашего внимания. Поверхностные фононы могут быть возбуждены медленными
электронами. Они также могут наблюдаться в оптическом поглощении, если
