Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
в отличие от кристаллической неограниченной среды, локализованные
состояния могут возникать.
При получении количественного определения локализации важна модель,
впервые использованная Андерсоном. Он рассматривает трехмерную точечную
решетку, заполненную "атомами", каждый из которых имеет всего лишь бдно-
единственное состояние с энергией Еп. Если все Еп равны, возникает
энергетическая зона ширины В. При рассмотрении состояний в
неупорядоченной решетке
-Рис. 40. Модель Андерсона: потенциальные ямы различ- -|_П Г П Р-П П_П
|~ 1
ных глубин в узлах трехмер- J L! |J U
ной точечной решетки.
W/2
Андерсон сохраняет позиции атомов в точечной решетке, но считает, что
энергии Еп статистически распределены по области шириной W (рис. 40).
Тогда гамильтониан может быть записан через операторы рождения и
уничтожения в представлении Ваннье (ср. § 8):
II - У] ЕпСпСп + 2 ^тпстстс^ (3.3)
п тп
Для упрощения во втором члене допускаются только переходы между
ближайшими соседями и для "них предполагается Fm" = V = = const. Начиная
с исходного состояния, в котором электрон локализован в определенной
точке решетки, можно поставить вопрос о вероятности нахождения электрона
вновь в этой точке при t -*¦ Диффузия электрона в решетке, конечно, может
иметь место, так как второй член в гамильтониане делает переходы
возможными. Если исходное положение относится к локализованному
состоянию, диффузия ограничена конечным объемом. Вероятность возвращения
тогда не нулевая при t -*¦ °°. Если, однако, электрон может
диффундировать на бесконечность, вероятность возвращения равна нулю.
Андерсон смог показать*, что величина отношения W/В определяет выбор
между этими двумя альтернативами *). В частности,
*) W есть разность энергий локализованных состояний. Подробнее см. 5 32.
(Примеч. пер.)
136
ГЛ. 3. НЕУПОРЯДОЧЕННОСТЬ
'I
для состояния Е = О (среднее значение распределения Еп в неупорядоченной
решетке, середина зоны в упорядоченной решетке) вероятность возвращения
равна нулю, если W/В порядка пяти. Тогда состояние является
делокализованным (распространенным). Для больших отношений WJB, т. е.
когда ширина разброса уровней энергий значительно превосходит ширину В
зоны, состояние Е = О является локализованным.
Это определение локализации не позволяет в реальном случае проводить
различие между локализованными и распространенными состояниями. Оно
может, однако, помочь понять возрастающую локализацию состояний зоны по
мере перехода от упорядоченной к неупорядоченной решетке.
Можно проследить этот переход качественно, без углубления в детальные
расчеты, выполненные мпогими авторами вслед за оригинальной работой
Андерсона. В § 14 (рис. 17) мы видели, что отдельный дефект
кристаллической решетки приводит к отщеплению (и одновременной
локализации) состояние от края зоны. С ростом числа дефектов
кристаллической решетки число локализованных состояний вне зоны
увеличивается. Энергетические уровни дефектов объединяются в зону
(примесная зона), которая может перекрываться с зоной делокализованных
состояний, если концентрация дефектов достаточно высока. Можно
представить, что аналогичное явление возникает при увеличении
неупорядоченности решетки. Состояния у краев энергетической зоны
становятся локализованными в первую очередь и одновременно сдвигаются в
энергетическую щель. Зона, таким образом, приобретает хвосты с
vii -
1!
Упорядоченная
/
/
I /'
/ ' \ I Неупорядоченная \
I решетка
Е,
Энергия
Рис. 41. Плотпость состояний (сплошные кривые) и распределение
распространенных состояний (штриховые кривые) для эпергетической зоны
упорядоченной и неупорядоченной решеток (схематически). Ев - край зоны;
Ес, Ес, -границы между локализованными и распространенными состояниями.
[По Экономоу и Коэну (Pliys. Rev. Lett. 1970, v. 24,
p. 218).]
локализованными состояниями у верхнего и нижнего краев. Рис. 41
показывает результаты вычислений, выполненных Экономоу и Коэном. С ростом
неупорядоченности' пределы Ес и Ее> приближаются друг к другу с обеих
сторон и встречаются в середине зоны. Когда они встречаются, все
состояния зоны становятся локализованными. Это происходит как раз тогда,
когда оказывается выполненным условие Андерсона для отношения WJB.
В заключение более подробно рассмотрим границу между локализованными и
распространенными состояниями зоны. Согласно
§ 30. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ
137
классической модели, изображенной на рис. 39, эта граница явля-ется
диффузной. Наряду с протяженными каналами встречаются изолированные
озера. Этого не должно быть, если разрешено туннелирование через области
Р. Озера тогда сообщаются с каналами. Локализованные и распространенные
состояния разделяются определенной энергией Ес. Существование резкой
границы можно понять также из формулы Кубо - Гринвуда. Если приближаться
со сто-ропы распространенного состояния, средняя длина свободного пробега
(длина когерентности) становится меньше. Однако, поскольку средняя длина
