Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
заключительной главе мы собираемся обратиться к неупорядоченности,
следует поставить два основных вопроса.
Во-первых, следует задаться вопросом, какие основные свойства являются
общими для всех неупорядоченных твердых тел, т. е. насколько вообще
отличаются неупорядоченные твердые тела от упорядоченных. Будет показано,
что наряду с делокализованными состояниями, как это было выяснено в
зонной модели, локализован-ные состояния играют важную, даже решающую
роль. Поэтому следует сначала определить более точно понятие локализации.
Во-вторых, встает вопрос, какие результаты теории, представленной в
предшествующих главах, можно перенести на неупорядоченные твердые тела.
Несомненно, это не будет полная теория модели зон со всеми ее понятиями,
такими как блоховские состояния, зоны Бриллюэна и т. д. В отсутствие
трансляционной инвариантности вектор к не является более хорошим
квантовым числом. Если вообще возможно определить одноэлектронные
состояния в неупорядоченных твердых телах - а нет причины сомневаться,
что это возможно в хорошем приближении,- понятие плотности
(одноэлектронных) состояний определенно будет также применимо. Следует
поэтому развить методы определения плотности состояний. Для этого
рассмотрим различные модели. Выяснится, что модели, предназначенные для
описания общих свойств всех неупорядоченных твердых тел, слишком
нереалистичны, чтобы позволить сделать количественные утверждения
относительно отдельных веществ.
В заключение зададимся вопросом: в чем отличие переноса через
локализованные состояния от переноса через делокализованные состояния? В
§ 12 уже получено несколько основных правил, необходимых для этого.
Формулировкой этих вопросов определяется содержание данной главы. Однако
в контексте книги представляется возможным ограничиться лишь качественным
обсуждением дажных аспектов. С потерей трансляционной инвариантности
решетки потребуется более широкий математический аппарат. Заняться им
здесь не представляется возможным - особенно ввиду того, что такой
аппарат требуется только для заключительной, главы. Вместо этого займемся
132
ГЛ. 3. НЕУПОРЯДОЧЕННОСТЬ
определением важных особенностей, требуемых для формулировки теории,
объясняющей переход от упорядоченности к неупорядоченности, и дадим
читателю ссылки, которые позволят ему исследовать эту область более
глубоко. Обратим особое внимание на тему аморфных полупроводников, в
которых разница между кристаллической и некристаллической разновидностями
твердого тела видна особенно ясно.
Наиболее важными источниками по вопросу неупорядоченных твердых тел
являются книги Лекомбэра и Морта [131], Митра [lllf], Мотта [93], Мотта и
Дэвиса [94], Тауца [99], доклады конференций [116, 119-132], обзорные
статьи Адлера в [110.2] и Марча а Стоддарда в [111 с. 31]. Дополнительные
ссылки даны в следующих параграфах.
Мы уже встречались с концепцией локализованных состояний в гл. 1 в связи
с локальным описанием неискаженных решеток и в гл. 2 в связи с
локализованными состояниями вблизи точечных дефектов. Однако там вообще
не давалось точного определения этого понятия. Теперь попытаемся это
сделать в связи с локализацией одноэлектронных состояний, которые могут
иметь место при неупорядоченности.
В принципе каждое состояние является локализованным, если соответствующая
ему волновая функция исчезает достаточно быст-
ро на бесконечности, т. е. если интеграл j конечен. Как
увидим ниже, это определение далеко нас не ведет. Начнем с одномерного
примера, который быстро покажет некоторые важные аспекты проблемы.
Предположим некую последовательность одномерных потенциальных барьеров, в
качестве которых простоты ради выберем 6-функции:
Сначала не делаем предположений о распределении величины х{. Уравнение
Шредиигера с выбранным потенциалом имеет вид
Прежде всего рассмотрим отдельную 6-функцию при х = 0. Для л < 0 решением
уравнения Шредиигера является
§ 29. Локализованные состояния
V (*) = 2 Ж ^(* - *{)•
(3.1)
i
(3.2)
•ф_(.г) = А ехр (ikx) + В ехр (-ikx).
Для х > 0
ф+ (х) = С ехр (ikx) + D ехр (-ikx).
§ 29. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
133
Граничное условие при х - 0 требует непрерывности решений ?ф_ (0) - i|)+
(0)] и скачка их первой производной на величину, пропорциональную
интенсивности б-потенциала h>'+(o) = V-(o) +
+ ?W0)].
Теперь поставим вопрос, при каких условиях абсолютная величина i|)+ при х
= а станет равной абсолютной величине i[-(0), т. е. <|)+ (а) = ехр
(iKa)ty- (0). Несложный расчет показывает, что должно выполняться условие
cos (Ка) = cos (ка) + (Q{/к) sin (ка). Тогда могут быть найдены два
параметра К ж а для всех к (т. е. для каждой энергии Е), удовлетворяющих
этому условию.
Этот результат немедленно показывает, когда для цепочки 6-потенциалов
может появиться распространенное состояние.
Абсолютная величина волновой функции становится периодической с
"постоянной решетки" а, когда все потенциалы равны и находятся на
одинаковом расстоянии а друг от друга и когда энергия Е лежит внутри
