Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
таким образом, приближение почти свободных электронов (ч. I, § 19).
б) Мы сводим проблему к одномерной модели: периодический потенциал
V{z)=V(z + na) для z< 0 (а - постоянная решетки), V(z) = V0 для z > 0.
Сначала мы решаем уравнение Шредиигера для одномерной задачи
о): (z) = (z)
(2:119)
отдельно для z > б и z < 0 и затем "сшиваем" решения при z = G (условие
непрерывности решений и их производных).
Вакууму физически соответствуют только решения уравнения Шредиигера,
убывающие с возрастанием z:
ф = а ехр
(2.120)
Чтобы получить решения для периодической цепочки, мы используем исходные
уравнения нз ч. I, § 19. Зонная структура показана в ч. I иа рис. 22.
Важнейшие детали, кроме того, показаны па
Рис. 34. Участок зонной структуры для одномерного периодического
потенциала с постоянной решетки а в приближении почти свободных
электронов (а). В энергетической щели между двумя зонами могут появиться
решения с комплексным к (6). .
рис. 34, а. Первая зона Брнллюэыа простирается от к - -п/а до +п/а.
Парабола Е(к)'для свободных электронов искажена вблизи поверхности зоны
Бриллюэна: зоны разделяются возникающей энергетической щелью.
Из выражения (ч. 1.19.2) мы получаем в окрестности к = +п/а\
т|> (к, z) = а ехр (ikz) + Р ехр j zj. (2.121)
120
ГЛ. 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Выражения для а и Р могут быть найдены из (ч. 1.19.6):
2т
Е(к)
s + F^-je-o,
При к = л/я + е и у = (Йгл/тя|У|)е получаем
§ = 0.
0)5
ехр (г -J-zJ + Цг-(- У ±/т2 + ^схр i ~
и
Е =
ft2 I л
2т. \ а
+ е ±|F|(-?±VV + l).
(2.122)
ехр (fez)
(2.123)
(2.124)
Для действительного г выражение (2.124) дает зоны, представленные на рис.
34, а. Волновые функции (2.120) и (2.123) могут быть "сшиты" друг с
другом для произвольного значения Е. В полупространстве z<0 для этого
необходимы два решения: ф(/с, z) и ф(-A, z), линейная комбинация которых
"сшивается", с вакуумными решениями. Энергетические зоны бесконечной
решетки в таком случае, исключая малые поправки, остаются неизменными.
Наряду с зонами мы теперь находим решения, локализованные на поверхности.
Так как (2.123) является решением только в полупространстве z < 0,
параметр г может быть также и мнимым. Для е = -iq с действительным
положительным q появляются решения, которые экспоненциально убывают в
кристалле. При = / sin (26) = = -i(hzn/ma\V\)q находим из выражения
(2.123)
П VI
с ехр
( л
\ а
V
ехр
i - z±8
exp(r/z). (2.125)
Энергия, соответствующая этому решению, имеет вид
Е =
Г 2 т.
(4)=-
±т
1
1.2
% Щ
1/2
Она является действительной для 0 Для q = 0 получаются решения
aJ, = c[exp(iiLz)±if! exp(-i^;
та | V |
i tfmax = ma\V\/%2n.
(2.126)
Я
COS - z a
я
sin - Z a
для V > 0,
для V < 0,
(2.127)
которые соответствуют энергиям двух краев зоны. В зависимости от. знака
фурье-компонеита V потенциала нижнее собственное значение связывают с
синусоидальной функцией и верхнее - с косинусоидальной функцией, или
наоборот.
r i 26. ЭЛЕКТРОННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ СОСТОЯНИЯ 121
Для "сшивания" решения во внутреннем и внешнем пространствах в нашем
распоряжении имеются два свободных параметра - отношение коэффициентов а
и с из выражений (2.120) и (2.125) и энергия Е. Оба этих параметра
определяются условиями непрерывности волновой функции и ее производной
при z = 0.
Мы получаем, таким образом, следующий результат: в то время как решения
уравнения Шредиигера (2.119) с действительным к соответствуют обычным
решениям для зон, возможны решения для мнимого к, которые убывают с
удалением от поверхности. Соответствующие значения энергии, согласно
(2.126), лежат в энергетической щели между зонами (рис. 34, б). Одно из
этих решений может быть "сшито" с решением для внешнего пространства. Оно
представляет собой состояние, в котором электрон локализован в узкой
области у поверхпостн. Это - искомое поверхностное состояние.
Более серьезный анализ показывает, что "сшивание" возможно только для V >
0. Таким образом, в этой модели поверхностные состояния могут
существовать, но они не обязаны иметь место в каждом случае.
В одномерной модели поверхностное состояние имеет дискретный уровень в
энергетической щели. Распространяя эту модель на трехмерный случай, мы
можем рассматривать полученные результаты как относящиеся к компоненту к,
перйендикулярному поверхности. Для каждого фиксированного значения
компонента к, параллельного поверхности, можно ожидать различного
положения уровня энергии поверхностного состояния. Таким образом, вместо
отдельных уровней получаем энергетические зоны для поверхностных
состояний. Поскольку энергетическая щель, в которой долгйен лежать каждый
поверхностный уровень, различна для каждого значения к, зона
поверхностных состояний может' перекрываться с зонами объемных состояний
(рис. 35).
Одномерная модель, рассматриваемая здесь, и ее качественное
распространение на трехмерный случай, однако, нереалистичны в некоторых
отношениях. Например, поверхность не представляет собой резкого перехода
