Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
"зон", данных условием, указанным выше. Это - результат хорошо известной
модели Кронига- Пенни. Каждая последовательность потенциальных барьеров
со статистически распределенными расстояниями x,-i - xt или статистически
изменяющимся потенциалом ведет к волновым функциям, которые либо
расходятся, либо стремятся к нулю с увеличением х. Некоторые из последних
стремятся к нулю также, когда х - °°. Эти решения представляют собой
локализованные состояния. Все другие решения расходятся и потому не имеют
физического смысла. Следовательно, можно констатировать: все физически
допустимые (не-расходящиеся) волновые функции для одномерной цепочки со
статистически распределенными потенциальными барьерами представляют собой
локализованные состояния. Мы только обозначили здесь доказательство этого
положения и относительно дальнейшего обсуждения отсылаем к Экономоу и др.
в [99] и к цитируемой там литературе. В рассматриваемом здесь примере
распространенное состояние должно иметь строгую фазовую когерентность.
Знание фазы волновой функции в одной точке позволяет получить ее во всех
других точках.
Этот результат не может быть просто перенесен на трехмерный случай. Даже
определение распространенного состояпия здесь не является таким же
очевидным, как в одномерном случае. Мы объясним это, используя
классический пример, который часто обсуждается в такой связи, а именно,-
движение частицы с данной энергией в случайном потенциале (рис. 39).
Так как в классической задаче не может быть туннелирования, частица
встречает разрешенные и запрещенные области. Пример на'рис. 39 позволяет
понять движения частицы с помощью модели, в которой вода может
подниматься на различные высоты Е в долинах гор. 'При самом низком уровне
воды существуют только озера'; частица локализована. Когда уровень воды
поднимается, образуют-
34
ГЛ. 3. НЕУПОРЯДОЧЕННОСТЬ
ся Каналы, которые связывают озера. Частица становится делокализованной,
когда образовался океан, т. е. когда каналы простираются до
бесконечности. Вершины гор, возвышающиеся над поверхностью океана,
остаются как центры рассеяния для распространенных состояний частицы.
Только когда они также будут затоплены, частица сможет двигаться где
угодно по (двумерному) океану.
Этот пример, квантовомеханическое обобщение которого обсудим позднее,
показывает прежде всего, что следует заново определить
понятие распространенного состояния. В случае кристалла возможность для
электрона находиться в данном распространенном блоховском состоянии была
одинаковой для всех эквивалентных точек решетки в неограниченном
кристалле. Теперь следует также к распространенным состояниям добавить
такие состояния, волновые функции которых предположительно простираются
до бесконечности, но для которых |ф12 может заметно флуктуировать в
пространстве.
Можно сформулировать этот результат иначе. Давайте начнем с идеального
распространенного ~ состояния кристаллической решетки. Проводимость аЕ,
определяемая с помощью формулы Кубо - Гринвуда (1.83) н- (1.85), и
подвижность р, (Е) будут тогда бесконечными: в этом состоянии электрон
может диффундировать без рассеяния до бесконечности. Нарушения идеальной
решетки, фононы, точечные примеси или незначительная степень
неупорядоченности ограничивают среднюю длину свободного пробега
электрона. Или,.иначе говоря, в результате возмущений фазовая
когерентность волновой функции ограничена конечной длиной когерентности.
По мере возрастания степени неупорядоченности средняя длина свободного
пробега и длина когерентности уменьшаются. Несмотря на это, состояние все
еще остается распространенным, волновая функция все еще простирается до
бесконечности. Дальнейший рост неупорядоченности может тогда
дополнительно вести к локализованным состояниям, т. е. к состояниям,
ограниченным конечными областями.- Их протяженность может быть описана
соответствующим образом определенной длиной локализацйи.
Дополнительная трудность проведения различия между локализованными и
распространенными состояниями заключается в том.
?<Ее
Рис. 39. Движение классической частицы в случай' ном потенциале.
"Разрешенные" области А растут с увеличением, энергии. Изолированные
озера связаны через каналы. Первые каналы, которые простираются до
бесконечности, появляются выше уровня энергии Ес. [По Коэну (Ргос. Int.
Conf. Semiconductor Physics, Cambridge, Mass. 1970).]
§ 29. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 135
что имеющее физический смысл определение должно учитывать размер
рассматриваемого твердого тела.
Локализованное состояние, чья длина локализации в действительности
конечна, но тем не менее велика по сравнению с размером образца, проявит
себя поэтому в эксперименте как распространенное. Отношение длины
локализации или длины фазовой когерентности к размеру образца определяет,
следовательно, характер одноэлектронного состояния данного
некристаллического твердого тела.
Подытоживая, можно сказать только то, что в неупорядоченном твердом теле,
