Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
осциллятора с частотой ($j{q)2).
Теперь легко осуществить переход к квантовомеханическому описанию. Для
этого надо только Q и Р считать операторами,
1) См. Дополнение VII. (Прим. ред.)
2) Для многих приложений и для перехода к квантовомеханическому
описанию удобнее пользоваться вещественными нормальными координатами; см.
[69] гл. II § 3. (Прим. ред.)
§31]
НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ. ФОНОНЫ
139
которые подчиняются перестановочным соотношениям:
[Q/(<7). = (31-12)
Оператор Гамильтона (31.9) вместе с перестановочным соотношением (31.12)
точно соответствует уравнениям Приложения (АЛ) и (А.2).
Следовательно, мы можем рассматривать квантованные комплексные колебания
как элементарные возбуждения. Они называются фононами. Если ввести
операторы рождения и уничтожения фононов, то оператор Гамильтона
приобретет вид
H = ^h(r)j{q)(al{q)aj{q)+-^ . (31.13)
Каждому состоянию, определяемому парой /, q, соответствует некоторое
число заполнения фононами nt(q) с энергией fmj(q). Вклад одного такого
состояния (одного нормального колебания) в полную энергию равен
nf(q)1i(i}j(q), а полная энергия (включая нулевую энергию) будет
?=5Ц(<7)(Ч(<20+j)- (31.14)
Фононный газ, описанный в гармоническом приближении с
помощью (31.13), состоит из невзаимодействующих частиц. Поэ-
тому целесообразно провести сравнение с невзаимодействующим электронным
газом, рассмотренным в гл. II. Основное различие в обоих случаях
заключается в том, что электроны являются фермионами, тогда как фононы,
напротив, являются бозонами. Каждое состояние спектра колебаний решетки,
следовательно, может быть заполнено произвольным числом (неразличимых)
фононов. Кроме того, число фононов зависит от энергии колебаний решетки,
т. е. от температуры. При Т = О фононы не возбуждены и решетка обладает
только нулевой энергией.
Вследствие этого изменяется также постановка вопроса для статистики. Нас
теперь интересует не распределение N неразличимых фермионов по заданным
состояниям энергии (при заданной температуре), как в § 6, но число
возбужденных бозонов в осцил-ляторных состояниях как функция температуры.
При этом учтем, что каждый осциллятор, несависимо от других, имеет
энергию возбуждения Еп = 1ш(п-\-1/2) с вероятностью, пропорциональной
е~Еп/квт. Эта вероятность, очевидно, из-за У?рп=1 будет
П
Т
¦яр nha/kgT ¦ (31.15)
п
-En/kBT
140
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
Так как 2л:" = (1 - х)~х (во всех суммах п пробегает значения
П
от п = 0 до п=оо), то
е-п%а/квт (i_e-WV) , (31.16)
и поэтому средняя энергия осциллятора
Ё = '2ЕпРп = Е0 + %п1ийРп. (31.17)
п п
Так как У] пхп = лг/ (1 - х)г, то окончательно получаем
П
g=e"-v-i +?• <3118>
Средняя вероятность заполнения осциллятора, или, иначе, среднее число
фононов, в состоянии /, q тогда будет
tij (q) = -¦ {q) ^ T--- (распределение Бозе). (31.19)
e j в - j
В § 30 было показано, что колебания решетки распадаются на 3г ветвей
(изменяющийся индекс /), которые могут быть представлены как функции q в
^-пространстве. Так как каждой (квази-дискретной) точке q каждой ветви
соответствует определенное состояние, то надо различать фононы различных
ветвей. Как мы различали ранее ветви по значению при 0 = 0 и по
поляризации нормальных колебаний, так теперь различаем акустические и
оптические продольные и поперечные фононы. Так как их свойства при
взаимодействии с другими квазичастицами или с коллективными возбуждениями
различны, то, когда это необходимо, используют обозначения: ТА-, ТО-, LA-
и LO-фононы1).
Закончим двумя существенными замечаниями. Переход к нормальным
координатам и полученное благодаря этому разделение функции Гамильтона на
независимые нормальные колебания оказались возможными 'потому, что
функция Гамильтона (31.1) - определенно положительная квадратичная форма.
Всякая такая форма может быть диагонализирована.1 В связи с (30.9) мы,
просто приняв во внимание периодичность решетки, уже смогли сделать
переход к квантовой механике и ввести фононы. Теперь появление
элементарных возбуждений не связано со свойствами решетки. Разделение
всех Юу на ветви, которые могут быть представлены в ^-пространстве зоны
Бриллюэна, во всяком случае является следствием периодичности. Если бы мы
не"ограничились
г) Т-поперечные,/. - продольные, А - акустические и -О - оптические.
(Прим. ред.)
§32] ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
141
вторым членом в разложении (30.2), то было бы невозможно приведение к
диагональному виду. Учет более высоких ангармонических членов приводит к
появлению взаимодействия между фононами (гл. XI).
§ 32. Энергия колебаний решетки. Теплоемкость
По (31.14) и (31.19) полная энергия колебаний решетки при заданной
температуре Т
+ <32|>
Суммирование по всем q и всем ветвям / легко выполняется в двух граничных
случаях.
а) Высокая температура. Если kBT велико по сравнению с fuoj, то
экспоненциальная функция в знаменателе может быть разложена, откуда
следует:
(32.2)
14
Каждый из 3rN осцилляторов в первом приближении вносит в общую энергию
