Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
валентных электронов в металлах приближенно совпадает с поведением
свободных электронов. Однако при этом должно быть выполнено основное
условие использованного приближения, что множество электронов в металле
может быть однозначно разделено на электроны внутренних оболочек и
валентные электроны. Если появятся вышележащие d-зоны, то в приведенной
здесь форме этот метод непригоден.
В качестве литературы для дальнейшего изучения метода псевдопотенциала в
применении к большому числу вопросов физики твердого тела рекомендуем,
прежде всего, книгу Харрисона [92], далее, статьи: Хейне и др. [57.24],
Зандрока [58.10] и
128
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
Займана [59.2]. Важную роль при количественном вычислении зонных структур
играют также метод ОПВ и метод псевдопотенциала с эмпирическим подбором
формфакторов из эксперимента.
<YTYTTT
5)
Ч>
Vps
Рис. 42. Сравнение заданного потенциала а) и соответствующей волновой
функции б) с модельным псевдопотенциалом в) и соответствующей волновой
функцией г). (По Харрисону [10].)
Мы не можем здесь заняться этими вопросами достаточно полно. Для
дальнейшего ознакомления укажем.: Займан [57.26], Кала-вей [91], Луке
[94], Тройш в [58.7], Займан в [56] и сводные
Глава V
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ § 29. Введение
После того, как в трех последних главах мы занимались движением
электронов, обратимся теперь к движению атомов (ионов) решетки. Динамика
кристаллической решетки играет большую роль во многих^областях физики
твердого тела. Тепловое дви-жение^заставляет ионы решетки колебаться
вокруг своих положений равновесия. Удерживающими силами являются силы
химической связи. Все упругие свойства, сжимаемость и распространение
акустических волн определяются этими силами. Эти свойства в большинстве
случаев описываются в рамках континуальной теории, в которой не
учитывается атомная структура.
Континуальное приближение является граничным случаем микроскопической
теории, которая рассматривает динамику самих ионов решетки. Здесь прежде
всего можно написать уравнения движения классической механики для ионов
решетки и получить из них энергию и частоту "нормальных колебаний"
решетки. При описании дисперсионных соотношений этих нормальных колебаний
мы опять встретимся с математическими вспомогательными приемами, как-то:
пространство обратной решетки, представление зоны Бриллюэна -и другими,
которые были введены в последних главах. Вообще мы сможем провести
многочисленные параллели с предыдущими результатами, что позволит
сократить обсуждение в этой главе.
Следующий § 30 посвящается классическому описанию колебаний решетки. Если
сообщить тепловую энергию одному из ионов решетки, то с помощью
взаимодействия между ионами она быстро распределится на всю решетку.
Таким образом, возбуждение локального колебания приводит к коллективному
колебанию совокупности ионов.
Поэтому при математическом описании целесообразно перейти от координат
ионов к коллективным координатам (нормальным координатам). В этом новом
представлении колебания решетки
130
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
легко квантуются. Соответственными квантами являются элементарные
возбуждения, которые называют фононами. Фононы являются бозе-частицами, и
к ним, следовательно, надо применять другую статистику, чем к электронам.
Фононам посвящен § 31.
В качестве первого применения понятия фононов в § 32 рассмотрим энергию
колебаний решетки и теплоемкость. В § 33 коснемся решения дисперсионных
соотношений для фононов. Аналогично тому как из зонной модели для
электронов следует плотность состояний одноэлектронного приближения, так
из дисперсионного спектра для фононов получается соответствующая
плотность состояний. Из-за большого сходства обоих случаев мы сможем быть
краткими при обсуждении этого вопроса в § 34.
В обоих последних параграфах этой главы мы перейдем к предельному случаю
длинноволновых колебаний решетки. Когда длина волны велика по сравнению с
атомными расстояниями, то микроскопическая структура твердого тела не
играет роли. Здесь осуществляется переход к классической континуальной
теории. В приближении, которым мы будем пользоваться, потенциальная
энергия ионов решетки разлагается по степеням мгновенного отклонения и
используется только первый, неисчезающий (гармонический) член. Это -
гармоническое приближение. В этом приближении оператор Гамильтона может
быть разложен в сумму независимых частей, которые имеют форму операторов
Гамильтона гармонических осцилляторов. Это разложение лежит в основе
квантования и дает возможность описывать колебания решетки как газ
невзаимодействующих фононов. Учет более высоких ангармонических членов в
разложении означает учет взаимодействия между фононами и является
предметом последней главы (гл. XI). Область, связанная с рассмотрением
колебаний решетки в гармоническом приближении, излагается во многих
работах. Большое число нижеприведенных литературных ссылок выходит за
