Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 59

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 160 >> Следующая

состояний соответствует случаю простой линейной цепочки. Имеется только
одна акустическая ветвь. Изображенная на верхнем левом рисунке верхняя
ветвь является простым продолжением нижней акустической ветви.
Действительно, если линейную цепочку с одним атомом в элементарной ячейке
рассматривать как цепочку с удвоенной постоянной решетки и с двумя
одинаковыми атомами в элементарной ячейке, то относящаяся к этому случаю
зона Бриллюэна будет вдвое меньше. Акустическая ветвь обычного
представления в этом случае должна быть приведена к первой зоне Бриллюэна
нового представления. Она образует тогда верхнюю ветвь, которая
соединяется с нижней частью на поверхности (одномерной) зоны Бриллюэна.
Если"массы обоих атомов в ячейке отличаются бесконечно мало, то обе ветви
расщепляются и верхняя ветвь будет "настоящей" оптической ветвью. Уже из
этого рассмотрения видно, что названия "оптическая" и "акустическая",
точно так же как "поперечная" и "продольная", имеют точный смысл только в
определенных случаях.
В двухмерном и трехмерном случаях плотности состояний различных ветвей
могут перекрываться. Спектр будет сложнее по сравнению с одномерным
случаем, где плотность состояний состоит из энергетически разделенных
частей обеих ветвей. Как и при зонной структуре Е"(к), для вычисления
плотности состоя-
150
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
ний нужна функция a>j(q) во всей зоне Бриллюэна. Здесь мы не будем
останавливаться на методах расчета. Часто такие спектры аппроксимируются
комбинацией плотности состояний в приближении Дебая и Эйнштейна. Рис. 49,
а показывает, что в грубом приближении акустическая ветвь может быть
получена с помощью дебаевского спектра (приближение aak (q) ~ q).
Оптические ветви
5)
Рис. 49. а) Дисперсионные кривые и плотность состояний для линейной
цепочки с двумя атомами в ячейке для различного отношения масс (М1 = М2,
Mi ф М^. б) Приближение для плотности состояний у вольфрама и лития по
Дебаю и Эйнштейну. (По Лейбфриду [60.VII/1].)
часто бывают очень пологими. Если полностью пренебречь частотной
зависимостью, то оптическая ветвь может быть аппроксимирована 8-функцией
с эйнштейновской частотой. Комбинируя обе возможности, можно
аппроксимировать плотность состояний настолько хорошо, чтобы ее
использовать для вычисления темпе-
§35] ГРАНИЧНЫЙ СЛУЧАЙ - АКУСТИЧЕСКАЯ ВЕТВЬ 151
ратурного хода теплоемкости. Рис. 49, б показывает такую аппроксимацию
для вольфрама и лития. При комбинировании дебаевских и эйнштейновских
членов температура Дебая должна быть понижена так, чтобы суммирование по
всем состояниям у обеих ветвей давало полное число нормальных колебаний.
§ 35. Граничный случай длинных волн - акустическая ветвь
Граничный случай длинных волн (малые q) по многим причинам особенно
интересен. Здесь мы сперва рассмотрим акустическую ветвь; к оптической
ветви мы перейдем в следующем параграфе. У акустической ветви все атомы в
одной ячейке колеблются в одинаковой фазе. Для больших длин волн
амплитуда колебаний мало меняется и при переходе от одной элементарной
ячейки к другой. В этом случае атомная структура играет малую роль и
возможен переход к континууму. Переход осуществляется следующим образом.
Прежде всего представим все атомы ячейки сосредоточенными в центре
тяжести (полная масса М). Тогда достаточно рассмотреть решетку Браве и
уравнения движения будут
(35.1)
n'i'
Теперь мы определим (медленно меняющееся) тле смещения s (г, t), которое
в узлах решетки должно быть идентично с дискретным полем sn(t):
s(r = Rn, f) = sa{t). (35.2)
Это поле смещения мы подставим в уравнение (35.1). Поле s в точке Rn'
разложим вблизи точки R,% = О и положим, что вклад в сумму в (35.1)
вносят только те участки, в которых s мало меняется. Тогда можно
ограничить разложение первым, неисчезающим членом:
ds-r 1 d2s,
sn'C' = Si' (Rn') = Sr (0) + Rn'i +Y^udrTkri^n'k^n'1' (35-3)
/ ы
При подстановке этого разложения в (35.1) первый член исчезает из-за
уравнения (30.6), а второй член - вследствие условия Фо/ =Фо " 1. Тогда
остается
Msni = ~ ^n'k^-n'ldF^dFi ' (35-4)
n'i' kl
Введем в это уравнение плотность MlVwsz = р и сокращение
Сц-и = - 5^ ? tft'Rn-kRn'i. (35.5)
152 КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ ' [ГЛ. V
Получим окончательно
р <зб-б>
i'kl
Величины Cu'ki обладают рядом симметрий. В особенности существенно, что '
Cmm - Clmik- (35.7)
Мы не будем выводить это соотношение в общем случае. Если
между всеми частицами решетки действуют центральные силы,
то оно следует из более общих соотношений симметрии, которые
мы здесь и приведем. Для центральных сил потенциал
У = 2"(|Я*'- Rs\) (35.8)
и силовые константы будут
= g(| Rn-Rn |) Rn'iRn'i'- (35.9)
Подставив это в (35.5), увидим, что в этом специальном случае все индексы
Сц'ы могут переставляться.
Тогда (35.6) можно записать и так:
pS, = X?C"..;|;T(!f+ !&-)• (35.,0)
k mn
Но это как раз уравнение движения упругой среды. Величина j ((dsjdrn) -f
{dsjdrm)) есть тензор деформации етп, который связан с тензором упругости
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed