Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
соотношением Гука:
° ik='2j^'ikmn&mn- (35.11)
тп
Теперь мы можем тензор упругости Ctkmn уравнения (35.11) идентифицировать
с соответственным тензором (4-го ранга) уравнения
(35.10) и получить
(35Л2)
к
Таким образом найдена связь с механикой непрерывной среды.
Эти результаты мы можем использовать для того, чтобы находить неизвестные
параметры при вычислении силовых констант (например, в оболочечной
модели) из измерений подходящих компонент тензора упругости.
Тензоры напряжений и деформаций, как и тензор упругости, симметричны. Мы,
как это принято, заменим группу индексов 11, 22, 33, 23, 13, 12 индексами
1, 2, 3, 4, 5, 6 и запишем теперь
§35] ГРАНИЧНЫЙ СЛУЧАЙ - АКУСТИЧЕСКАЯ БЕТВЬ j53
(35.11) в виде
= 2 ^ар ер- (35.13)
0
Симметричная матрица 6-го ранга Сар имеет 21 независимый параметр
(упругие константы). Из условий симметрии большая часть этих констант
равна нулю или друг другу. Кубический кристалл описывается тремя упругими
константами Сп = С22 = С33, С13 = С23 = С31, С44 = С55 = С66, тогда как
все остальные Справны нулю.
Изотропное тело описывается двумя упругими константами. Для этого
достаточно трех вышеприведенных кубических упругих констант при условии
Сп = С12 + 2С44. Сложные кристаллы могут иметь до 21 различных упругих
констант. Для случая центральных сил, т. е. при применимости (35.9), это
число ограничивается 15 (соотношения Коши).
Изучая динамику решетки в последнем параграфе, мы рассматривали решения
уравнений движения волнового характера. Здесь мы тоже будем искать
решения (35.10) в виде
s = eeJ (35.14)
Это для изотропной среды приводит к уравнению
рсо2е = (С12 + С44) q (q-е) + C^fe. (35.15)
Оно имеет одно решение, которое соответствует продольным волнам (q
|| е), и два решения, приводящие к поперечным волнам
(<?_Le)- Для обоих случаев дисперсионные соотношения будут
pa>i = (С12-j-2Ci4) д2 = Clxq2, jg.
pcof = С44<72. 1 • >
В обоих случаях со пропорциональна q, волны распространяются с продольной
или, соответственно, поперечной скоростью звука-,
<35Л7)
Мы обнаруживаем, что линейная связь между со и q этого приближения как
раз соответствует приближению Дебая. Использованная в том случае
константа sf3 для каждой из трех акустических ветвей будет равна сг_3
или, соответственно, cf3. Усреднение по всем трем ветвям будет
^=-1+4-- (35Л8)
S3 Cl ct
Это то выражение, которое надо подставлять в плотность состояний (32.8).
154
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
Обсудим еще кратко соответствующие соотношения для кубических кристаллов.
Здесь будет
0;- - Г d2s" I tn i ? \(^У_ I \ , р (d*sx , \
+^12+\дхду+дхдг) + с" [ду* +'5F_; '
(35.19)
Два следующих уравнения для у- и г-компоненты s получаются при
циклической перестановке х, у, г. Здесь появляются продольные и
поперечные решения только для специальных направлений, тогда как для
произвольного направления вектор е не перпендикулярен и не параллелен q.
§ 36. Граничный случай длинных волн - оптическая ветвь
В граничном случае длинных волн для оптической ветви отдельные базисные
атомы вигнер-зейтцевской ячейки колеблются относительно друг друга, тогда
как движение в соседних ячейках практически одинаково. Рассмотрим твердое
тело с двумя противоположно заряженными ионами в ячейке, тогда обе ионные
решетки колеблются практически как целое относительно друг Друга.
Рассмотрим мгновенное отклонение s± одного иона. Пусть его эффективный
заряд будет ±е*. Тогда это отклонение может быть формально описано также
внесением дополнительного диполя с моментом ± e*s± (внесением заряда ± ё*
на место s± и заряда е* в положение равновесия для компенсации заряда
иона). Поляризация ячейки тогда будет e*(s+ - s_) = e*s. Однако при этом
из-за смещения зарядов могут возникнуть внутренние поля, которые в свою
очередь индуцируют дипольные моменты у ионов решетки. Отсюда получается
дополнительный вклад в поляризацию ячейки, равный аЕеП (а = а+ +а_). а±
есть поляризуемость ионов, a ?eff - эффективное поле в месте расположения
иона. Это локальное поле, как известно, бвязано с макроскопическим полем
в случае простой решетки:
ЕеП = Е + ~Р. (36.1)
Для вывода этого соотношения1) на дос1аточном расстоянии от
рассматриваемого иона проводят шаровую поверхность и всю решетку вне шара
рассматривают как однородный диэлектрик. В шаре суммируются вклады всех
других ионов решетки в виде эффективного поля. Этот вклад для кубической
решетки исче-
*) См., например, Тамм И. Е. Основы теории электричества.- М.: Гос"
техиздат, 1956, § 28. (Прим. ред.)
§36] ГРАНИЧНЫЙ СЛУЧАЙ - ОПТИЧЕСКАЯ БЕТВЬ 155
зает. Тогда остается как. раз вклад, приведенный в уравнении
(36.1).
Полная поляризация в основной области для N вигнер-
зейтцевских ячеек, если применимо уравнение (36.1), будет
Р = -$-Р'+*Ем)-± . (36.2)
3 Vga
Для смещений s+ и справедливы уравнения движения
(36.3)
M+s+ = - k{s+-s-) + e*EM,
M_s_ = + k(s+ -S-) - e*Eeft,
где & -коэффициент пропорциональности квазиупругой силы.
С приведенной массой М - М+М"/(М+ получим
