Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
ортогонализованной плосковой волной (ОПВ). Предположение в форме (28.3) с
такими ОПВ может служить основой для количественного определения
зонной структуры. Мы к этому вернемся
в конце параграфа.
Пока мы не будем определять вид функции %. Подстановка (28.3) в уравнение
Шредингера дает в качестве уравнения, определяющего {k, г),
Hln~lL <Ф/1х">^Ф/ = ?"(?)(Х"-2 <Ф; I %п> Фу). (28.5)
/ /
ИЛИ
н1п + 5 (Еп (*) - Ej) Ф/ <ф] 11п> = Еп Ф) (28.6)
/
Если ввести интегральный оператор Vр = 2 (Еп №) ~ Ej) Фу <Ф/1> то
вытекает формально простое уравнение:
(Я + Vp) Xn = (H0 + V(r) + Vp) %п = Еп (k) х". (28.7)
Здесь по сравнению с исходным уравнением блоховская функция *"(*. г)
заменена псевдоволновой функцией %n(k, г) и потенциал
V (г) - псевдопотенциалом Ур8 = V (г) + Vp. Оператор Vp, очевидно, по
своей сути положителен, так как Еп (k) всегда больше Ej. Поскольку
потенциал V(г), наоборот, отрицателен, то обе части,
126
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
(ГЛ. IV
в какой-то мере, компенсируются. Псевдоиотенциал, таким образом, меньше,
чем реальный потенциал, но зато он не локален, так как Vр - интегральный
оператор, а волновая функция в Уд стоит под интегралом. Мы уже
встречались с аналогичными трудностями в выражении для периодического
потенциала, в котором появлялись нелокальные обменные члены. Как и в § 3,
мы теперь должны описать нелокальные члены через локальное приближение.
В выражении (28.3) % может быть дополнена произвольной
линейной комбинацией 2ja№i ^ез изменения левой части. Это
i
справедливо, так как аддитивные члены, при любой комбинации волновых
функций электронов остова, всегда выпадают из правой части (28.3).
Псевдопотенциал и относящиеся к нему волновые функции, таким образом,
определены неоднозначно. Это существенно помогает упростить решение
волнового уравнения псевдопотенциала. С помощью вариационного метода
можно так выбрать коэффициенты а; в аддитивной части %, что либо
псевдопотенциал будет иметь наименьшее значение, либо волновая функция
псевдопотенциала будет возможно более гладкой. Оба эти условия
приближенно эквивалентны. Оптимизированные таким образом волновые функции
в этом случае могут быть аппроксимированы небольшим числом членов
суперпозиции плоских волн (19.2).
Введение псевдопотенциала позволило нам сделать следующий шаг. Оператор
Гамильтона Н = Ha-\-V был заменен новым оператором Гамильтона Ярз -= Я0
Урз, который, если пренебречь не интересующими нас глубокими зонами, для
валентной зоны и зоны проводимости имеет те же собственные значения
Еn(k), как и оператор Н. Относящиеся к этому случаю волновые функции %,
однако, более гладкие и потому лучше аппроксимируются меньшим числом
членов суперпозиции плоских волн.
Если для х использовать предположение (19.2), то появляется секулярное
уравнение (28.1), в котором теперь V (Кп -Кт) есть фурье-компоненты
псевдопотенциала
yps {Кп - Кт) = ^ j е-' <*+*">•' Fps е' (*+*">•"¦ dx. (28.8)
В этом представлении V"ps -еще интегральный оператор. Аппро-
ксимируя его локальной функцией V"ps(r), получим
Vv,(q) = ?-Jv"{r)e-'"-'dT (q = Kn-Km). (28.9)
Целесообразно разложить V"ps(r) на вклады от отдельных узлов решетки.
Пусть при нескольких базисных атомах в вигнер-зейтцевской ячейке, которые
отличаются трансляцией Ra,
Mr) = 2 Mr-(*" + *.))• (28.10)
an
§28]
ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛ
127
Теперь Урз (q) может быть записано как
Ур* (Q) = у- S § Va(r ~Rn-R*)e~iq'rdx =
an
=fY*e~i4'Ra'\e~iq'rVair)dx='Le~i4'RaF"- (28Л1>
g a a.
Множитель Fa называется формфактором. Если все базисные атомы одинаковы,
то Fa не зависит от а. Тогда Vps(^) есть произведение структурного
фактора и формфактора, из которых только в первый входит симметрия
решетки и только второй содержит потенциал.
Если псевдопотенциал достаточно гладкий, то существенны коэффициенты
Фурье только с малыми q. Детерминант (28.1) имеет тогда малый порядок.
Этот метод позволяет вычислять зонную структуру, если известны
формфакторы Fa. Их определение возможно тремя способами:
а) Псевдопотенциал вычисляется прямо из действительного потенциала.
'Тогда этот метод эквивалентен вышеупомянутой суперпозиции ОПВ, и
введение псевдопотенциала не дает никаких преимуществ.
б) Формфактор определяется эмпирическим подбором значений,
удовлетворяющих экспериментальным данным.
в) Используется модельный потенциал', это значит, что вводятся простые
предположения о потенциале с одним или несколькими свободными
параметрами, которые позднее определяются подбором.
Мы здесь не будем входить в подробности, а отсылаем читателя к ниже
цитируемой литературе. На рис. 42 в качестве примера приведен модельный
потенциал Vrs, при котором в области вблизи иона решетки потенциал
заменяется постоянным значением. Размер области подобран таким образом,
что псевдоволновая функция в этих местах совпадает с блоховской функцией.
Введение псевдопотенциала, наряду с очевидным упрощением у /авнения
Шредингера, показывает (и это достаточно наглядно), го поведение
