Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
В заключительном выражении (25.9) мы рассмотрели звезду вектора ft как
совокупность векторов ft,-, получающихся из вектора ft применением
элементов точечной группы {а|0}. Если точечная группа имеет g элементов и
звезда п различных векторов ft(=aft, то точечная группа может быть
разделена на п частей из g/п элементов, которые переводят ft в
определенные ft,.
Каждая такая группа имеет N{ элементов TlJ, где /,- = 0, 1, ... ..., Nt-
1. При циклических граничных условиях должно выполняться ^ Tlj}jN' = Е.
Так как неприводимые представления Та.
одномерны, т. е. являются числами, то для
Это может осуществляться N различными способами:
(26.6)
С П;=\ . . .NI и
(26.7)
По (20.17) и (17.4) это идентично выражению
D{TR[) = zlkRu
(26.8)
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
119
через выражение p,-ft = ft,-. Первоначально это справедливо только для
точек в зоне Бриллюэна. На поверхности зоны Бриллюэна, однако, лежат пары
эквивалентных точек, отличающиеся только на величину вектора обратной
решетки Кт. Условие для (3,- можно записать точнее: p,-ft = ft, + Кт.
Среди набора {Р,-1 0} имеется один набор {Р|0}, который оставляет к
инвариантным с точностью до вектора обратной решетки Кт. Мы определим в
качестве группы вектора к операции {Р|6} из {а|а}, для элементов вращения
которых
р к = к + Кт. (26.9)
8 качестве примера назовем: а) для произвольной точки в зоне Бриллюэна
группа вектора k содержит только примитивные трансляции; б) для k - 0
группа к инвариантна по отношению ко всем {а|0} и является полной
пространственной группой.
Группа вектора k всегда является подгруппой пространственной группы. К
векторам звезды ft,- тогда будут относиться другие элементы
пространственной группы, которые получаются из подгруппы применением
вращения р,-.
Для точек внутри зоны Бриллюэна неприводимые представления группы вектора
к даются выражением
D ({Р | b\) = eik bD (Р), (26.10)
где D (Р) есть неприводимое представление точечной группы р и Ь включает
примитивные и непримитивные трансляции. Доказать это просто, если принять
во внимание, что так как k b' - = p-ikb'=kW> то
D ({р | Ь}) D ({р' | Ь')) = e'* &e'*6'D (р) D (р') = е' <6+Р&'> * D (рр')
=
= D ({РР' | Ь + рб'}) = D ({р | Ь) 1Р' [ Ъ'}). (26.11)
Тем самым, матрицы (26.10) удовлетворяют тем же правилам перемножения,
как и сама пространственная группа. Неприводимость представления следует
из предположения о неприводимости D(P). Для ft-векторов на поверхности
зоны Бриллюэна (Ктф 0) выражение (26.11) можно доказать, только если
пространственная группа симморфна, т. е. не содержит непримитивных
трансляций. Именно тогда k-Rt =р~1 (ft+ Km)-Rt = k $Rt + Km-$Rt =ft-p/?,
+ целое кратное 2зт.
Для несимморфных групп возникают трудности, которые выходят за рамки
настоящего рассмотрения. По этому и другим вопросам данного параграфа см.
Костер [57.5].
Уравнение (26.10) дает неприводимые представления для всех операторов
{Р16} пространственной группы, которые относятся к группе вектора ft.
Неохваченные {а | а\ относятся к операциям а точечной группы, которые
переводят к в другие ft,-звезды. Относящиеся к этим {а| а) неприводимые
представления могут быть
120
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИА-i
1ГЛ. IV
сведены к представлениям D({P|6}). На этих преобразованиях мы здесь не
будем останавливаться подробнее, так как при дальнейшем обсуждении они
нам не понадобятся. Для нас важно только, что все неприводимые
представления пространственной группы для заданного вектора k (кроме
упомянутого особого случая) определены через неприводимые представления
трансляционной группы e'k /ii и точечной группы, относящейся к k.
Общие соображения, высказанные в настоящем параграфе, мы дополним
следующими специальными сведениями, существенными для зонной модели:
1. Каждому состоянию En(k) соответствует неприводимое представление.
Размерности возможных неприводимых представлений для заданного k
определяют возможное вырождение для этого к.
2. Так как собственные функции, относящиеся к определенному ЕЛЬ),
являются базисными функциями соответствующего неприводимого
представления, то знание неприводимых представлений дает также свойства
преобразований, иначе говоря, симметрию tyn{k, г).
3. Если перейти из точки k в соседнюю точку с меньшей симметрией (k +
x), то представление, которое было неприводимым в k, может быть в k-\-x
приводимым. Вырожденный уровень в этом случае, при переходе от А; к к +
х, расщепляется.
В твердом теле представления зонной структуры обозначаются символами
(например, Г2, Д5, ...). Буквы при этом обозначают группу вектора k (см.
рис. 28 и 37), индексы обозначают соответственные неприводимые
представления. Уже сами эти символы дают обширную информацию о симметрии
и вырождении волновых функций данного собственного значения.
Поясним это на примере гексагональной точечной решетки, которую мы уже
использовали в качестве примера на рис. 17, 20, 21, 23 и 24. Теперь можно
[ответить на следующий вопрос. На рис. 24 мы сравнили между собой зонные
