Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 48

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 160 >> Следующая

структуры гексагональной точечной решетки для свободных и почти свободных
электронов. При этом мы нашли, что для случая свободных электронов
потенциал решетки приводит к снятию вырождения.
Можем ли мы из рассмотрения свойств'симметрии предсказать, какие
вырождения будут сняты и на сколько отдельных компонент расщепится
вырожденный уровень?
Пространственная группа плоской гексагональной точечной решетки состоит
из примитивных трансляций {Е | п^+п^а2}, оба аг определены на рис. 17. К
ним добавляются двенадцать операций точечной группы (обозначаемой Cev),
при которых шестиугольник остается инвариантным. Непримитивные трансляции
отсутствуют. Пространственная группа, следовательно, симморфна: =
= |0Н? !*,}•
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
121
Операции а. (распределенные по классам) будут:
Е - единичная операция,
С2 - вращение на 180° вокруг центра шестиугольника,
С3- два вращения на ±120°,
С"-два вращения на ±60°,
ст -три зеркальных отражения от прямых, проходящих через любые
противолежащие углы,
ст' -три зеркальных отражения от прямых, проходящих через середины двух
любых противолежащих сторон.
Все это составляет двенадцать операций. Так как пространственная группа
симморфна, то мы должны интересоваться только неприводимыми
представлениями точечной группы {ос|0}-. Трансляции дают зону Бриллюэна,
форму которой мы уже знаем. Точечная группа имеет шесть классов и,
следовательно, шесть неприводимых представлений.
Из У]Па= 12 (см. (26.3)) при целочисленных па следует, что
а
имеются два неприводимых представления размерности 2 и четыре-размерности
1: (22 + 22-)- 124- I2-)- 12 + 12)= 12. Характерыпри-ведем в следующей
таблице характеров:
Е С2 cs ce a a'
Di 1 1 1 l 1 1
d2 I 1 j l - I -1
Ds 1 - I i -i - I 1
1 -1 l -i 1 - I
?>6 2 -2 l 0 0
De 2 2 -i -1 0 0
Отсюда вытекают все интересующие нас выводы:
Группа ft-вектора для центральной точки зоны Бриллюэна Г (ft = 0) есть
полная пространственная группа. Соответствующая ей точечная группа имеет
представления от Dt до D", которые мы теперь обозначим от до Г6. Термы
Я"(Г) будут классифицироваться этими возможными типами симметрии. Уровни
от Г, до Г4 - невырожденные, Г6 и Г6 - дважды вырожденные.
Перейдем теперь к оси Т (для обозначений ср. с рис. 24 и 41). ft-вектор
вдоль оси Т имеет в качестве группы элементы Е и а. Они являются двумя
классами и двумя одномерными представлениями. Вдоль оси Т, следовательно,
имеются только простые зоны. В точке К (конечная точка оси Т) k имеет
группу из операций симметрии Е, С3(2) и о(3). Четыре из этих операций
переводят ft в другой угол, который удален на Кт¦ Это дает три класса и
столько ще неприводимых представлений (два -размер-
122
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
ности 1 и одно -размерности 2). Для всех других точек в зоне Бриллюэна
имеются только неприводимые представления размерности 1. В нашем простом
примере, следовательно, только в Г и К встречаются вырожденные уровни.
Зоны, которые возникают из таких термов, расщепляются вдоль осей.
Анализ свойств симметрии волновых функций в точках Г и К для свободных
электронов (рис. 24 и 41) дает следующее: для
свободных электронов в точках симметрии большое число зон вырождается. В
точке Г самое глубокое собственное значение энергии Ех (Г) не вырождено,
следующее Ег (Г) - шестикратно вырождено. При этом Ех (Г) соответствует
Tj, Е2 (Г) - суперпозиции Г,, Г3, Г5 и Г6. В точке К оба самых глубоких
собственных значения Е (К) трехкратно вырождены. Возмущение, иначе
говоря, конечный потенциал решетки, вызывает расщепление Е2 (Г) на два
невырожденных и два дважды вырожденных уровня, а каждый Е (К) может
расщепиться на один дважды вырожденный и один невырожденный уровень. Все
вырождения, оставшиеся в Г и К, расщепляются на осях. Это все показано на
рис. 24. При этом порядок в расположении точек симметрии произволен.
Какие зоны остаются связанными между собой, где сохраняются возможные
случайные вырождения, в какой последовательности располагаются
расщепленные уровни по точкам симметрии - это определяет уже
количественный ход потенциала. Эти ответы можно получить только с помощью
численных решений.
§ 27. Учет спина. Обращение времени
• Мы до сих пор не принимали во внимание спин в уравнении Шредингера для
электрона в периодическом поле. Введение спина, прежде всего, удваивает
все уровни Еп (k), так как каждому k соответствует два состояния. Спин-
орбитальное взаимодействие может привести к расщеплению части вырожденных
уровней.
Для количественного учета поправок к предыдущему рассмотрению дополним
оператор Гамильтона членом спин-орбитальной связи
Рис. 41. Классификация по симметрии зон свободных электронов в
гексагональной точечной решетке.
?=4&ff-feradl/><grad)'
(27.1)
УЧЕТ СПИНА. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
123
2 действует на спиноры г|)(г, s), при этом градиент в скобках действует
на пространственную часть и спин-оператор а - на часть, зависящую от
спина. Если записать лр (/*, s) как двукомпонентные спиноры:
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed