Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 49

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 160 >> Следующая

^1 (г) I
(г, s) =
^2 (г) |
го компоненты а равны
0 11 7 о 1 0
ах= 1 о| ' Q II о Q II 0 -1
Полный оператор Гамильтона при е
О
о
имеет вид
А + У (г)) 8 + а• (grad V х grad).
(27.2)
(27.3)
(27.4)
Элементы пространственной группы теперь тоже должны быть дополнены
операторами, которые действуют па часть, зависящую от спина. Оператор
5{a|a} не коммутирует с (27.1). Следовательно, 5{a|ttj недостаточно
дополнить е (как это имеет место для части оператора, не зависящей от
спина). Обсуждение этого вопроса мы переносим в Приложение Б.
Мы установили ранее, что если не учитывать спин, то функции -ф (k, г) и -
ф (-k, г), а следовательно, Е {k) и E(-k) вырождены. Этот результат мы
хотим теперь обобщить. Для эгого введем оператор обращения времени К- Он
обращает состояние движения системы. В не зависящем от времени уравнении
Шре-дингера это означает, что К оставляет инвариантным пространственный
оператор, но в то же время обращает операторы импуль-
са и спина:
КгК~1 = г, КрК~г=-р, КоК~х = -о. (27.5)
Это осуществляется, если
K=-iaJfK0, (27.6)
где Ко определено выражение1\1 /Са'ф = "ф* и ау - выражением (27.3).
Так как р = (h/i) grad, то/С0 означает изменение знака р, тогда как а у
вызывает изменение знака у спина (о^бгст"1 = а*). По (27.5) оператор
Гамильтона инвариантен относительно /С, KHty - HKty-Следовательно, /СФ и
вырождены. При отсутствии спина (/С = /С0) это означает, что ^ вырождено
относительно о|)*. При наличии спина
К
о
о
if*
К
о
if*
о
(27.7)
124
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
1ГЛ. IV
Из (27.7) следует, чю К "переворачивает" спин, а функцию Блоха г)
преобразует в г). Те же соображения, как при вы-
воде (20.20), показывают, что -ф (k, г) со "спином вверх" вырождено по
отношению к -ф (-k, г) со "спином вниз". Следовательно, и здесь
справедлива теорема Крамерса: E(k) = E(-k), но с дополнением, что оба
собственных значения принадлежат состояниям с противоположно
направленными- спинами. Вырождение, связанное с обращением времени, не
ограничено приведенным примером. Собственные значения, которые из
соображения симметрии не должны быть вырожденными, могут оказаться
таковыми из-за обращения времени.
§ 28. Псевдопотенциал
В § 17 и 19 мы подошли к зонной модели, рассматривая брэгговское
отражение. Непрерывный спектр Е (k) свободных электронов в периодическом
поле ионов решетки расщепляется на зоны. В § 19 наше рассмотрение было
ограничено случаем слабых потенциалов. Только в этом случае можно считать
V (г) в уравнении Шредингера малым возмущением. В этом приближении зонная
структура вытекает из решения секулярного определителя в первом
приближении теории возмущений
det
^-(k + Kny-E(k))bnm + V(Kn-Km) =0, (28.1)
где V(Ki)~i-я фурье-компонента потенциала. Уравнение (28.1) есть
обобщение рассмотренного уравнения (19.6), ограниченного двумя значениями
/Г,-. На самом деле потенциал решетки недостаточно мал, чтобы считать его
малым возмущением. Вследствие этого волновая функция (к, г) не имеет
характера плоской волны. По (18.12) -ф всегда записывается в виде
блоховской функции, иначе говоря, в виде плоской волны, модулированной с
периодом решетки. Модулирующий множитель ип{Ц, г) будет сильно
осциллировать сходно с волновой функцией свободного атома, во всяком
случае вблизи иона решетки. В области слабого потенциала между ионами
решетки, напротив, блоховские функции будут вести себя примерно как
плоские волны. Предположение, что блоховская функция имеет вид (19.2),
при которомона может быть построена из суперпозиции только плоских волн,
таким образом, нецелесообразно, так как в этом случае для описания
блоховской функции требуется учитывать слишком большое число плоских
волн.
Для того чтобы обойти это затруднение, будем исходить из следующих
соображений. Разделим зоны в твердом теле на две группы: глубоколежащие
зоны электронов внутренних оболочек и валентные зоны и зоны проводимости.
Для первых предположим,
$28]
ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛ
125
что они относительно узки и что их положение не сильно смещено по
сравнению с атомными уровнями, из которых они произошли. Состояния
электронов в этих зонах тогда можно с хорошим приближением
аппроксимировать состояниями электронов внутренних оболочек в атомах.
Вторая группа является для нас наиболее интересной. Нашей целью является
нахождение собственных значений уравнения Шредингера En(k) для этих зон.
Елоховские функции для валентной зоны и зоны проводимости и волновые
функции состояний на внутренних оболочках должны быть взаимно
ортогональными решениями одного и того же уравнения Шредингера.
Обозначим состояния на внутренних оболочках через фу и их энергии - через
Ej (Яфу- --= Ejtpj), тогда условие ортогональности
<ф/|'Ф> = 0 (28.2)
будет удовлетворяться, если положить
¦Ф" (*> г) = %п (*. г) - 2 <ф/ | %п> Ф/. (28.3)
/
так как в этом случае
<ф/' I ч" = <фг I х>-2 <Ф/1х> <ф/'1ф/> = <ф/'1х>-2 <фу I х> V =о.
(28.4)
Если для %n{k, г) выбрать плоские волны, то (28.3) называют
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed