Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
вклад kBT (закон Дюлонга - Пти). Это классический результат, квантовые
эффекты здесь не сказываются.
б) Низкая температура. В этом случае мы не можем считать kBT малым, по
сравнению с так как частота funj принимает все значения от нуля до
1mj^>kBT.
Из (32.1), напротив, можно заключить, что частоты с ^coy^> ^>kHT ничего
не вносят. Поэтому мы можем ограничить суммирование тремя акустическими
ветвями. Здесь тоже будут играть роль только самые низкие частоты, для
которых дисперсионное соотношение coy = co(^) может быть выражено
приближенно линейной зависимостью co/(^) = s/({}, ф)-<7. Тогда будет
hs;7/kRT iq е ) в -
Е о, (32.3)
где Е0 - нулевая энергия. При достаточно большой основной области мы
можем заменить суммирование по дискретным q-точ-
кам интегрированием в ^-пространстве: 5j=lV(2rc)3 . Тогда
(32.3) будет
142 КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ [ГЛ. V
Здесь оказалось возможным распространить интегрирование до бесконечности,
так как большие х ничего не вносят в интегрирование. Если еще усреднить
sf3 по направлениям и ветвям, то
В = и^^+Е- <32-5>
где справа определенный интеграл был заменен его значением я4/15.
Для температурного интервала, лежащего между двумя рассмотренными
граничными случаями, использованные приближения недостаточны. Прежде
всего отметим, что под суммой по q в (32.1) стоит функция difiq).
Следовательно, при замене суммирования на интегрирование можно сразу
перейти к интегрированию по соу. Для этого, как и в § 22, введем
плотность состояний г (со):
г (со) dco = Г -j-------. . . i rfco. (32.6)
v ' (2я)3 J grad coy (q) v '
(0= const
(В отличие от § 22 мы здесь не нормировали г (со) на основную область,
равную 1.)
Учитывая (32.6), получим
со
2 ё N = Щэ J g И dx4 = J S И г И dm. (32.7)
я о
Для приближения (aJ.(q) = sjq (с sy-, уже усредненным по углам),
например, будет
Vа СО? АО/
гу(соу)йсоу=^-4^, (32.8)
s)
I
Е-Е0 = У\ -г rr~z ¦ гУ ("/)d&.
У
haj/kBT_l
Vg (kBT)* 1
(32-9)
о
Но это точно тот же результат, который мы выше получили для граничного
случая низких температур.
В настоящей формулировке мы можем внести поправку хотя бы в одном
отношении: интегрирование плотности состояний (32.6) по всем со должно
давать как раз число N значений q одной ветви (ур. (32.7) с g=l). В
линейном приближении мы должны, следовательно, обрезать спектр соf(q) при
некоторой частоте сой (частота Дебая) так, чтобы выполнялось
вышеназванное уело-
§32] Энергия колебаний решетки, теплоемкость 143
вне. Это приводит к выражению
У ж I
(32.10)
или при qjD = (r)jD/S/t независимо от /,
<7уД=(^)1/3=(6^)1/3. (32.11)
Здесь N/Vg - обратный объем вигнер-зейтцевской ячейки, равный объему
бриллюэновской зоны, деленному на (2я)3. Если это подставить в (32.11),
то непосредственно видно, что qD есть радиус шара с объемом, равным
объему бриллюэновской зоны. Использованное здесь дебаевское приближение
состоит, следовательно, из трех допущений относительно спектра (r)(q):
пренебрежение оптическими ветвями, линейная аппроксимация для
акустических ветвей, замена зоны Бриллюэна шаром того же объема и
предположение о независимости от направления линейного приближения в этом
шаре.
Для нашего приближения дебаевская поправка означает замену верхней
границы со в интеграле (32.4) на 1mDlkBT и, тем самым, приводит к
умножению приближенной формулы на множитель, зависящий от температуры:
hu)D/kBT
'? j <32Л2>
о
где еще введена дебаевская температура 0Д с помощью соотношения
kBQD~fi(x)D.
Коснемся здесь еще модели, предложенной Эйнштейном, применение которой
нам понадобится позднее. Делается предположение, что имеется вообще
только одна-единственная частота колебаний: сйу(^) = со?. Тогда
плотность состояний будет
z(c0j)dc0j = N8((0j - (0E)d(0j- (32.13)
и из (33.9) следует:
Е - Еа = - -°3/':-. (32.14)
е
haE/kBT
Каким бы грубым ни выглядело это предположение, оно оказалось чрезвычайно
важным для того, чтобы дополнить дебаевское приближение. Из рис. 44
видно, что в случае линейной цепочки с двумя атомами в ячейке дебаевское
приближение очень хорошо аппроксимирует акустическую ветвь. Для
аппроксимации оптической ветви, однако, гораздо лучше предположение о
постоянной частоте всех оптических фононов, чем линейное дебаевское
приближение.
144
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
Для сравнения с экспериментом менее существенной оказалась
рассматриваемая до сих пор полная энергия, чем ее изменение с
температурой, т. е. чем теплоемкость.
В гармоническом приближении нет необходимости различать cv и ср, так как
это приближение не включает теплового расширения решетки.
Для дебаевского приближения теплоемкость получается при дифференцировании
(32.9) и (32.12) по температуре:
c"(7-) = 3iVVo(^) . г(r) /"М-
-М (5^ТР- <32Л5>
О
Для больших значений QD/T (низкие температуры) fD аппроксимируется
значением 4я4/5х3. В этом приближении теплоемкость пропорциональна Т3
("Р-закон Дебая).
Если ввести температуру Эйнштейна 0?, соответствующую температуре Дебая,
