Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
рамки приводимого в этой главе материала: поправки на ангармонические
члены, взаимодействие фононов с другими элементарными возбуждениями и с
локальными нарушениями решетки. Специальную литературу к этим вопросам мы
приведем в последующих главах.
Во введениях в физику твердого тела и в теорию твердого тела особое
внимание на колебания решетки обращено в трудах: Хель-вег [5], Брауэр
[9], Хауг [11], Лудвиг [14] и Займан [20, 21]. Специально проблемам
колебаний решетки посвящены книги: Ма-радудин, Монтролл и Вейсс [69],
Уоллис [51], Стивенсон [40], Энс и Херинг [43], Бак [96] и Борн и Хуанг
[97]. Хорошие обзоры представляют собой статьи Лейбфрида [60. VII/1] и
Кочрана и Каули [60. XXV/2a] в "Энциклопедии физики", как и статья
Лейбфрида в [56] и Паррота в [49]. Серия книг [56] содержит большое число
специальных статей.
§30]
КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
131
§ 30. Классические уравнения движения
Теперь мы рассмотрим ион-ионное взаимодействие, не рассматривая движения
электронов. Таким образом, моделью является модель, описанная уравнением
(2.8). Ионы решетки колеблются вокруг своих положений равновесия. Между
ними действуют силы, которые коррелируют отдельные колебания.
Совокупность электронов заменяется усредненным постоянным отрицательным
объемным зарядом (обратная континуальная модель). Ионную решетку мы опять
рассмотрим в некоторой основной области с циклическими граничными
условиями. Пусть число вигнер-зейтцевских ячеек в основной области будет
N. Ионы решетки могут занимать положения равновесия/?ла = /?л + /?а.
Здесь Rn- соответствующая точка отсчета внутри вигнер-зейтцевской ячейки,
a Ra- пространственные векторы, отсчитанные от этой точки к а-овому
базисному атому. Если базис состоит из г ионов, то индекс а принимает
значения от 1 до г. Мгновенные отклонения яа-го иона от положения
равновесия могут быть заданы вектором смещения, зависящим от времени,
sna{i)-
В этом параграфе мы рассматриваем классическую проблему. Функция
Гамильтона составляется из кинетической энергии всех ионов и их энергии
взаимодействия.
Кинетическая энергия равна
Здесь Ма - масса а-ового базисного атома. Индекс i дает три декартовы
координаты вектора sna.
Потенциальную энергию взаимодействия мы разложим по возрастающим степеням
отклонений snai. Первый (постоянный) член в этом разложении есть
потенциальная энергия ионной решетки в равновесии. Мы здесь опустим эту
часть, как и отрицательный фон, так как они ничего не вносят в динамику
колебаний решетки, единственно интересующую нас в данный момент.
Второй член разложения-линейный относительно snai. Так как мы ведем
разложение вокруг положения равновесия, то и этот член должен исчезнуть.
Третий член квадратичен в смещениях и имеет вид
Входящая сюда матрица ФЦаТ*' имеет 3rN столбцов и строк. Мы ограничиваем
разложение этим первым, неисчезающим членом (гармоническое приближение).
Поправки к этому приближению мы рассмотрим только в гл. XI.
"=1...г, t = l,2,3. (30.1)
1 ХЛ d2V
2 jLm dRna{dRn'a'i nai n'a'i'
5*
132 КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ [ГЛ. V
Физический смысл Ф^'1' выясняется из уравнений движения Mjnai = - ^=- ?
Ф&?"W*'. (30.3)
n'a'i'
Здесь Фпсй ^ - сила, действующая в t-м направлении на а-овый ион в п-й
элементарной ячейке, когда а'-овый ион в n'-й ячейке смещен на единичную
длину в i'-м направлении. Величины ФЦаТ*' называют атомными силовыми
константами. Для них справедливо большое число соотношений симметрии.
Прежде всего, из (30.2) следует, что силовые константы симметричны:
фя;г"=фя?<?'('- (зо.4)
Кроме того, они очевидно, вещественны.
Дальнейшие соотношения получаются, если использовать тот факт, что
потенциальная энергия должна быть инвариантна по отношению к (бесконечно
малой) трансляции или вращению кристалла. Пусть трансляция задается как
s"a(- = 8s; для всех п, a, i и вращение -как snai - ^ бсоikRnak (бм17г =
- 6cofti). Тогда при этих
операциях на ионы решетки не действуют никакие силы и правая часть (30.3)
должна исчезнуть. Это приводит для трансляции и вращения к выражениям
X Ss(- 2 Ф"а"'?' = 0,2 8а>г*' 2 ФХПмг = 0 (30.5)
Г п'а' i'k' п'а'
и отсюда -к соотношениям симметрии1)
2ф&Г" = 0, (30.6)
па
2Фnr?U Rnak = Rnai'. (30.7)
па па
Кроме этих общих соотношений существует еще большое число других
соотношений, которые получаются, если использовать симметрию решетки. Мы
позднее вернемся к этому вопросу, но сначала симметрию решетки исключим
из рассмотрения. Позднее мы сможем легче высказать общие соображения,
вытекающие специально из симметрии решетки.
Теперь мы ищем периодические во времени решения уравнений движения. Для
этого примем
Snai (0 ~ " (30.8)
V Mol
где unai не зависят от времени. При этом выделим множитель Ма~г/2.
Уравнения движения при таком предположении будут
1) Более подробно см. [69], с. 22. (Прим. ред.)
§30]
КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
133
иметь вид
со2и"а{ = s 0№''ип,а.{, (d^-тД=) . (30.9)
л'а'Г \ V MaMa'J
Это -уравнения для собственных значений вещественной симметричной матрицы
