Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
ограничиться квадратичным членом, получить
E(k) = E(kB + x) = E(k0) +
+ 1Г Лдкadk. (24-1)
ар ^ Р
где соответствует экстремуму в зоне Бриллюэна. Множитель при и ир во
втором члене представляет собой как раз тензор эффективной массы
уравнения (20.11). Таким образом, если можно ограничиться квадратичным
членом разложения, то носители
Энергия, зВ
Рис. 38. Плотность состояний в кремнии, (По Крамеру, Томасу и Машке. Не
опубликовано.)
СТРУКТУРА ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ИЗОЛЯТОРОВ
111
тока (электроны или дырки) будут описываться постоянной эффективной
массой, хотя, может быть, и зависящей от направления. Это приближение в
теории полупроводников почти всегда допустимо. Поверхности постоянной
энергии вблизи экстремума в этом случае-концентрические эллипсоиды. В
особых случаях,
IV,///-V,...
Рис. 39. Важнейшие^детали^зонной структуры полупроводника.
когда эффективная масса - скаляр, т. е. не зависит (c)^'направления, как
это приближенно имеет место в точке k - О, теоретическое описание
делается особенно простым1). Электроны тогда ведут себя как свободные
электроны с*постоянной скалярной эффективной массой, только отличающейся
от массы т. То же справедливо и для дырок, которым, наряду с эффективной
массой, надо приписать положительный заряд.
Эта чрезвычайно простая модель усложняется следующими возможностями (см.
рис. 39). На этом рисунке в центре изображена зонная структура, сходная с
изображенной на рис. 37, - в данном случае структура германия. Из этой
структуры ^выделены некоторые области. Начнем с точки Г, т. е. с центра
зоны Бриллюэна. Если нижний край зоны проводимости лежит в этой точке
(рис. наверху слева), то это соответствует изотропной параболической
зоне. Это значит, что состояния описываются посто-
г) Это справедливо только для кубических кристаллов. (Прим. ред.)
112
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ аОТЕНЦИАЛ
[ГЛ. IV
янной, не зависящей от направления, эффективной массой. Только при
возрастающей энергии зависимость Е (/г) отступает от параболы,
эффективная масса начинает зависеть от энергии.
Этот случай, например, реализуется в полупроводниковом соединении -
антимониде индия.
Верхний край валентной зоны у многих полупроводников (полупроводники IV
группы периодической системы и соединения III-V групп) лежит в точке ft =
0. Здесь, однако, две разные зоны имеют общий экстремум (рис. 39, средний
внизу). Вблизи экстремума могут существовать дырки из обеих зон, которые,
однако, в зависимости от зоны, будут иметь разные эффективные массы.
Здесь, в рамках модели свободных носителей тока, надо одновременно
учитывать два различных сорта дырок. Если экстремумы зоны лежат не в k =
0, то из соображений симметрии (ср. со следующим параграфом) должно
существовать некоторое число эквивалентных экстремумов. Поверхности
постоянной энергии вблизи таких экстремумов, вообще говоря, должны быть
эллипсоидами вращения. Такой случай, встречающийся в германии и кремнии,
показан на рис. 39 снизу, слева и справа.
Остается еще обсудить рис. 39, верхний справа. Он показывает перекрытие
двух отдельных зон с экстремумами при близких энергиях, но в различных
точках зоны Бриллюэна. Здесь также приходится принимать два сорта
носителей тока (электронов) с различными эффективными массами. Так как
минимумы лежат на разной глубине по энергиям, то наиболее глубокий
минимум будет уже при более низких температурах удерживать электроны из
валентной зоны. Отношение концентраций обоих сортов электронов будет,
таким образом, зависеть от температуры. Примером этого может служить
арсенид галлия.
Важнейшим параметром у полупроводников является эффективная масса, т. е.
вторая производная энергии по й-вектору. Поверхностей Ферми у
полупроводников нет, так как энергия Ферми у них лежит в запрещенной
зоне, между валентной зоной и зоной проводимости*). Для определения
эффективных масс, как и в эффекте де Гааза - ван Альфена, используется
орбита носителей тока в магнитном поле. При постоянной эффективной массе
получаются круговые орбиты, частота обращения тогда есть циклотронная
резонансная частота уравнения (8.7). Подробнее об этом можно найти в [95]
и гл. IX. Наряду с этим, при изучении всех оптических переходов между
занятыми и свободными состояниями зонной модели, интересна структура зоны
проводи-
J) Определение уровни Ферми в полупроводниках см., например, Ансельм А.
И. Введение в теорию полупроводников.-2-е изд., перераб.-М.: Наука, 1978,
с. 343. (Прим. ред.)
§ 251 ИНВАРИАНТНОСТЬ ОПЕРАТОРА ГАМИЛЬТОНА 113
мости и валентной зоны во всей зоне Бриллюэна. Кроме зонной структуры
интерес представляют вероятности переходов между отдельными состояниями.
Для этого надо знать волновые функции для собственных значений En(k) или
по крайней мере их свойства симметрии.
§ 25. Следствия из инвариантности оператора Гамильтона по отношению к
операциям симметрии пространственной группы
Внутри зоны Бриллюэна функция En(k) обладает большим числом симметрий.
Для того чтобы их охватить, сопоставим {а| а} некоторые операторы,
