Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
и множитель 3, соответствующий трем оптическим ветвям, то для приближения
Эйнштейна получим
(Г) = 3NkBfB , где U (*) = (sH=Tji • (32-16)
Температурный ход в обоих приближениях изображен на рис. 45.
§ 33. Расчет дисперсионных кривых
Как уже отмечалось в § 30, функция соj(q) может быть представлена в зоне
Бриллюэна ^-пространства аналогично тому, как зонная структура En(k) в
зоне Бриллюэна ft-пространства. В особенности отметим одинаковую
симметрию в обоих случаях. Прежде чем перейти к расчету таких
дисперсионных кривых, покажем некоторые существенные результаты на
простом примере двухмерной квадратной сетки.
Функция ю/(0) вытекает из уравнений (30.12), если известна матрица D%,i{'
(q) размерности 3г. Последняя определяется силовыми константами из
выражения
ЩГ (q) (33.1)
ft'
Для нашей модели примем, как мы это делали в § 30 для одномерного случая,
что между соседними атомами действуют ква-
Рис. 45. Теплоемкость в приближении Дебая (сплошная кривая) и в
приближении Эйнштейна (пунктирная кривая).
РАСЧЕТ ДИСПЕРСИОННЫХ КРИВЫХ
145
зиупругие силы. Вследствие предположения, что эти силы сильнее всего
действуют между ближайшими соседями и убывают с возрастающим расстоянием
при переходе ко вторым, третьим и т. д. соседям, мы ограничимся
рассмотрением квазиупругух сил между ближайшими и следующими за ними
соседями (рис. 46).
Ограничить рассмотрение только ближайшими соседями уже потому было бы
нереально, что квадратная сетка (как и объемная кубическая решетка) при
ква-зиупругих связях только между ближайшими соседями была бы неустойчива
по отношению к скалывающим напряжениям.
Рассмотрим теперь некоторый атом ге = 0; г-я компонента силы, действующей
на этот атом, когда п'-й атом смещен из своего положения равновесия на
вектор Sn', будет
F п' -*¦ 0 " &п'@п' (@П'' Sri'")' (33.2)
Здесь ап-квазиупругая константа, связывающая выбранный атом, е"- -
единичный вектор, задающий направление Сравнив это выражение с (30.3), в
котором можно исключить индекс а при рассмотрении решетки Браве, мы
найдем для силовых констант
ФоГ = - ап.епчепч' (п' ф 0). (33.3)
Силовая константа ФоГ, которая описывает силу, действующую на атом 0 при
смещении этого атома на вектор 50, очевидно, равняется сумме всех сил,
которые возникли бы при смещении всех других атомов на вектор - s0:
ФоТ = - 2 ФоГ= 2 ап.е^епч: (33.4)
п' (?=0) п' (ф0)
Из (33.3) и (33.4) мы легко можем получить все силовые константы для
нашего специального примера. Пусть упругие константы между ближайшими
соседями будут /1( между следующими по расстоянию соседями -/2 и
постоянная решетки -а; тогда
ФЙ=ФЙ = ФЙ = ФЯ = -/1,
Ф#' = Ф!? = --у (I, V = 1,2), ф"=ф;{=-ь (/ = 1,2), (33.5)
ФЙ = Ф"=+? 0 =7^ / = 1> 2),
ФЙ=ФЙ= 2 (/!+/,).
Все остальные ф?;"=о.
Рис. 46. Упругие связи
с ближайшими и следующими за ними соседями в квадратной сетке.
146 КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ [ГЛ. V
Нумерация отдельных соседних атомов показана на рис. 46.
С помощью (33.5) можно вычислить D\ (q) и подставить
в (30.12). Выражение (30.12) есть система уравнений, которая
имеет решения, только если равен нулю детерминант:
|Z>f(tf)-ю26".| = 0. (33.6)
Это условие в рассматриваемом случае приводит к уравнению
[/i (1 - cos qxa) + /2 (1 - cos qxa cos qya)\ --^-co2 sin qxas\nqya
M ==0.
sin qxa sin qya [/x (1 - cos qya) + /" (1 - cos qxa cos qya)\ -g- o)2
(33.7)
Здесь qx и qy - компоненты q в (двухмерной) зоне Бриллюэна. Последняя для
квадратной сетки сама является квадратом с длиной сторон я/а.
Уравнение (33.7) приводит к двум решениям для соД#), соответственно к
двум ветвям, которые возможны при двухмерной сетке Браве. Мы приведем их
для некоторых точек и линий симметрии. Символы симметрии те же, что на
рис. 28, а (зона Бриллюэна кубической решетки в ^-пространстве), которые
лежат в квадрате при &г = 0. Центральная точка Г, следовательно ось А,
идет к середине стороны квадрата, X, ось 2 -к середине ребра квадрата, М.
Стороны квадрата Х-М - X. .. являются осями Z. Для двухмерного случая
точечные группы, относящиеся к отдельным точкам и линиям, очевидно,
другие.
Из (33.7) следует:
A-ось (Г X): а, = |/^ (Л + /,) (1 - cos qxa),
cOj = f2 (1 cos qxd),
2-ось(Г -*¦ M): co1= (fx (1 - cos^a) + f2 (1 - cos2^a)),
(33.8)
(0,
Z-ось (X -*¦ M)\ co1= -Jjj- (2/t + f2 (1 -fcos qya)),
= ^+f*-(fi-f*)cos 9ya) •
Дисперсионные кривые для произвольно выбранного численного значения
упругих связей (fi//2 = 2) приведены на рис. 47. Этот рисунок, кроме
того, содержит символы неприводимых представлений, которые соответствуют
со, в точках и на линиях высокой
РАСЧЕТ ДИСПЕРСИОННЫХ КРИВЫХ
147
симметрии. Мы не будем здесь рассматривать этот вопрос с точки зрения
теории групп. Это рассмотрение аналогично примеру, приведенному в гл. IV.
Сделаем еще одно важное замечание.
Если решения соД#) подставить в уравнения (30.12), то можно определить
сУК Тогда на оси А для coj находим с?=1, с\ = 0. Ветвь coj,
следовательно, описывает продольные колебания решетки. Соответственно для
