Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
=* 2 2*. N {N-1) In-rjl 1 Xj
dx{dxj1. (1.9)
ft <ri~ri) J
Мы учли оба случая, когда интеграл (1.8) равен (N - 2)!, н, креме того,
учли, что второй случай (?' = /, L' = k) соответствует перестановке двух
столбцов определителя, что меняет его знак.
Так как определенные интегралы, входящие в (1.9), не зависят от
переменных интегрирования, то они одинаковы для всех N (N-1) пар qi, qj.f
поэтому (1.9) равно
?1 у ' г d d
2 Zd J I гl" 'Гa 1
К, I
что совпадает с двойной суммой в (3.8).
II. К § И
1. Для вычисления интеграла (11.2) перейдем к полярным координатам г,
д, ф с полярной осью, направленной вдоль к; тогда "-in-r-fir .• -ikr cm
V -fir
J - I ----------- J ------------}--------rtdrsln,&d'&dfp.
Интегрирование no дает множитель 2л; интегрирование по sin = =-acosit = -
du в пределах (-1, +1) Дает + 1
(¦ 1 .2
V e~lKru du = -^r (^lkr-e~'kr) = -^psinkr, (П.1)
-1
13*
388
ДОПОЛНЕНИЯ редактора
в результате
Ои
J = ^- J e-P^sin kr dr.
(II.2)
Если проинтегрировать последний интеграл дважды по частям, то из
полученного выражения легко видеть, чго
да
J e~^rsin?r dr= ?- <
¦ pr Р sin kr + k cos kr
P+P .
o ?2+f52
Из (II.2) и (II.3) следует (11.2).
2. Выведем выражение (11.4). Вычислим интеграл в (11.4) в полярных
координатах, направив полярную ось вдоль k:
г* /г'2 dk' к п d dft dtp of* Р а с(
+ i
d cos О
=JL [ In k J о
6'2 + 62 + 26'fc
k -\-k2-2k'k
-l
я p *' dfe' = T j
2k'kcos ft
k'-k} kF
___2зх Г
J
In
Предполагая (формально), что k' > k, и интегрируя по частям, получим
kF
kp-\-k
, 2п kp ,
J -- г " In I k 2
kp-k
¦2я(^.
J k3
Последний интеграл берется элементарно (см. Бронштейн И. Н., Семендяев К-
А. Справочник по математике.- М.: Гсстехиздат, 1953, с. 351, фор. 65);
таким образом,
, 2п kp .
~Г~Т
kp-\-k
kp-k
Отсюда непссредственно следует (11.4).
I о и 2я^ 1
-\-2nkp---------- In
kp-\-k
kp-1 k
J Ifo,
3. Для вывода (11.7) вычислим (3.19), полагая все <р (г) - --_ е , т.
' Vg
плоскими волнами; тогда
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
389
Знаменатель равен
ч'
fe II (fef)
Числитель (Afe = *, kj^k') равен
(2я)3 3
Е'
/* II
-i*A (#¦'-#¦)+"у (r'-r> yZ f
JJ- I e ~ik r" (Pk i tik'-r"d4\ (2n)°\ J
(II-5)
(II.6)
где r =r -r.
Направляя полярную ось вдоль г", интегрируя по dq> и учитывая, что sin
bd$ = - d cos О, аналогично (II.I), получим
,-ikr" cos Qk2dk
sin •& dO d<f=^~ J sin (kr")kdk =
4 n
~ll 3
sin (?r") - (?r") cos (?r")
4n
= - [sin (fefr") - (kpr") cos (kpr")]. (II.7)
Такое же выражение мы получим для йторого интеграла в (II.6) по d?k'.
Подставляя (II.7) и (II.5) в (II.4) и умиожая на 1 ~(N/kf) (3
(2n)3/8nl/g-)t получим (П.7).
III. К § 12
1. Квазиэлектростатичссксе поле, связанное с коллективными колебаниями
электронной плазмы, должно быть безвихревым; этсму удовлетворяет
выражение для вектор-потенциала (12.4). В самом деле, как следует из
(12.5),
rot* Е ~ rotx (ke'k'r) =~ (kze'k'r)-(kyel/t r) -kzkye'k'r-kykzelfc'r = 0.
Аналогично находим rot E для двух других, составляющих.
2. Дальнодействующее взаимодействие посредством электрического поля
учитывается в (12.6) членами 2 в круглей скобке и последним слагаемым,
fe <кс
равным (1/8я)^ Ег dt. Короткодействующее кулснсвское взаимодействие
учитывается второй суммой 2 2 • "Третье слагаемое перенесено без
изменений (/ к > hc
из (12.3).
Если опустить несущественные множители, то квадрат круглой скобки
ife-Г; , ik>rf _
содержит члены /?;е *+е 1р{, Рассматривая г,- и р/ как операторы
кано-
390
Дополнения редактора
нически сопряженных переменных, имеем1)
ik-n ik-Гi .4. ik-Г; 4.. ik-Г,
e Pi-Pfi - inVfi = - Ые l, откуда следует (12.7).
Проанализируем выражение (12.8). 1-е и 2-е слагаемые 1-й строки очевидны;
3-е слагаемое 1-й строки вместе с 3-м слагаемым 2-й строки равны слагав-
Е, J
-р- в (12.6), 3-я строка (12.8) получается в результате преоб-
к
разования (12.7) из квадрата круглой скобки в (12.6). Последнее слагаемое
в (12.6),
как указано в тексте,3 равно (1/2) 2 P*kPk> оно фигурирует в
виде 1-го
к <кс
слагаемого в (12.8). Наконец, квадрат 2-го слагаемого в круглой скобке
(12.6) мы разбиваем на две суммы: одна из них, для k' Ф - к, совпадает с
4-й строкой (12.8), другая, для k' = -k, равна 2-му слагаемому 2-й строки
в (12.8).
IV. К § 13
Равенство (13.13) имеет тот смысл, что его левая и правая части под
знаком интеграла приводят к одному и тому же результату. Вычислим интег-
Ь
рал lim С -LQ- dz по вещественной оси х в пределах (- а, Ь).
14(1 J 2 t0i
- а
__________I___________О--------------1___________^
-а О '*Ь х
Рис. 110. Бесконечно малая полуокружность радиуса а, обходящая полюс
х = 0.
На рис. 110 изображена ось х и бесконечно малая полуокружность радиуса а,
обходящая полюс х=0. Имеем
lim [Щ-йг= lira С -Щ-йх+ [1Щ-йх + 11т Г-Щ-dz. (IV.1)
aо J г-1 a a_*o J x-ia. J х-1а J г-юс
-a L -а +а J П
Полагая в последнем интеграле 2 = ре*Ф и dz = ирре*Ф dtp, получим
Л 5 ^ dZ = " -о 5 ре'Ф - Та ^ f (°) j =- inf (0)- (IV'2)
л л
Угол ф отсчитывается в комплексной диаграмме против часовой стрелки.
