Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 152

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 160 >> Следующая

Так как <яг | вг> = I, то
C=[s(s+l)-s* (sz+l)]"1/2 •
Подставляя это выражение в (VII 1.8), получим
S+ |sz>= J^s(s+1) - s*(s2+I) [ sz+I>.
Если ввести вместо sz отклонение от спинового насыщения n = s-sz то,
исключая sz, получим
S+ I пу- 2s -f- 1-п Y n|n-1>,
что для заданного / совпадает с первым уравнением (38.18).
4. Выведем выражение для 5+ в (38.19), т. е. покажем, что из него
следует первое уравнение (38.18).
Понимая корень из оператора а+а как соответствующее разложение в ряд,
получим при малых a+a/2s
¦./•тг -1 а+а лГуг Г I а+аа I a+aa+ai 1 5+=/2s у 1__в=1Л28[а-т-Б-т-^-----
-----------------...j,
откуда, используя (А.13) и (А.8), получим 5+ |м> =
= 1^2 s
1)*,.-, >_...]
= yr2sVrBl/' 1-^i |л -l>=Vr^Vr2s-/i+l|n-1>,
что совпадает с первым уравнением (38.18). Остальные уравнения (38.18)
получаются аналогично.
г) Оператор L+, эрмитово сопряженный оператору L, определяется
соотношением <<р | Li|)> = <i,+ ф| 1|з>. (Прим. ред.)
398
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
5. Фурье-обращенне выражений (38.20) дает
I/'at ?¦< 7 * Vat
Отсюда следует:
*/ RJ
"J
так как [а/, а/"]= 1. а сумма по Rj при k ф k' равна нулю, а при k - k'
равна N.
Далее,
Zata'-
¦ Q \ k k' /
-srSS'"*'"''/l**v-S
Покажем, как выводится выражение (38.23). Ограничиваясь двумя членами в
разложении корней в (38.19) и подставляя S+, S-rи Sz в (38.10), получим
Я = -/^ |(s-a?a/)(s - а/a/)-f-
= - J ^ | s2-s (afai + af a/) + ata;djaj-\-sa;af-~ aiafa'faj -
-^ dfa/aiaf + sai aj-j- ataf ajaj-i- afafa,-a (VI11.II)
при этом мы опустили члены шестого порядка по а. Очевидно, что выражение
- /2'sa=- Js*vN=E<,: (VII 1.12)
И
Члены второго порядка по а дают соотношение
Js }>]' (atat+afaf)=2Jsv У]Ь?Ьк, (VIII. 13)
t! k
где было использовано (38.22); далее получим
- Js 2' {apf+afa/) = - 2Js ? -jjrS ег*'*в V =
ч a kk'
--2/s SSe^e^v-2/" Sykb+bk. (VIII. 14)
kkT 0 к
Ив (VIII.12)-(VIII.I4) следует'второе слагаемое'в выражении'(38.23).
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
399
Вычислим одно из слагаемых четвертого порядка по а в (VIII. 11); на.
пример,
- У 2' aUtO/a/^
= -yZ-FLei<fe'A'>'/?^+^4- 2 =
*7 kk' k"kf"
kk'KW I, 6
ft*'*"*"' e
-r L (vin.15)
ftft'A" 6
Введем вместо переменных суммирования (интегрирования) k, k' и k"
переменные k = k-k'-\-k", k' = k' иa = k"-k'\ выражая старые
переменные через новые и опуская тильду над ними, получим
после подстановки в (VIII.15)
- L. V V ' ,+ ,+ , , _
уу ^ 2*е bk-v.bb'+v.bk'bk -
feft'x б
= -2^ 21 ^Чь'+н-kbk-Kbt'+xbk'bk • kk'-л
В силу того, что yk = y_k, это выражение совпадает с
соответствующим слагаемым в (38.23). Остальные члены четвертого
порядка по b в (38.23) полу-
чаются аналогично.
IX. К § 39
В антиферромагнетике каждая из подрешеток "а" и "6" ведет себя подобно
ферромагнетику, но взаимодействие между ними приводит к тому, что спины
подрешеток стремятся установиться антипараллельно.
Для того чтобы описать антиферромагнетик посредством гамильтониана
(38.10), надо обменный интеграл J заменить на -J и произвести
преобразование спинов узлов / (решетки "6"), вращая их на 180° вокруг оси
S/x; тогда Sy±-н Sfz->•-SfZ. (IX.l)
В результате гамильтониан антиферромагнетика приобретет вид
H=J'?' [-S'*S/*+-j(Si++S/+ + S,._S/_)] . (IX.2)
как это следует из (38.10) и (IX. 1).
Если ввести, аналогично тому как это было сделано в предыдущем
дополнении, операторы рождения и уничтожения магионов а+ и а и их фурье-
образы Ь+ и Ь, отмечая принадлежность к подрешеткам "а" и "6"
соответствующими индексами, получим из (IX.2) в квадратичном приближении
выражение (39.3).
400 Я
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
Положим в преобразовании Боголюбова (39.4) и* = chip* и oft = sh(p*,
тогда условие и\-v\ = ch2 ф*-sha = 1 выполняется автсматически. Опуская
для краткости Индекс k, запишем преобразование (39.4) в виде
Ci = ch ф • -ship • &?, cl" = ch ф-ftj-sh ф*6(,, 1X3)
d = сЬф'&ь- 5Ьф'6а, с2 = сЬф*6а -вЬф-й^.
Решая эти уравнения относительно &J, Ьа, Ьь, Ьь и подставляя в квадратную
скобку (39.3), получим
2 [(сЬ2ф + зЬ2ф + 27 сЬф sh ф) с* ci + (ch2 ф + Б^ф + гу сЬф sh ф)
с2с2 +
+ (2 ch ф sh ф+ у (ch2 ф + sh2 ф)) ct ct + (2 ch ф sh ф +
-f v (ch2 ф+ sh2 ф)) C!C2 + (2sh2 ф+2у ch ф sh ф)]. (IX.4)
При этом мы использовали коммутативность операторов cfci-cfci, Cic2 =
= C2Ci И ПОЛОЖИЛИ CiCl = 1 + Cl Cl И С о С 2 - 1 +cjc2.
Для того чтобы диагонализировать (IX.4), положим гсЬфвЬф + у (ch^ + sh2
ф) = 0,
или
sh2ф-(-7 ch2ф = 0, т. е. (:112ф = - у. (IX.5)
Отсюда для коэффициентов при диагональных членах и для свободного члена
следует:
ch2 ф + sh2 ф + 2 у ch ф sh ф = сЬ 2ф + у sh 2ф = У1-у2,
2 sh^ + 2ych ф sh ф = ch 2ф - 1 + у sh 2ф= У1 -Y2- 1-
Таким образом, из (IX.4) следует:
2Jvs 2 У1 - у2 (tfici* + ctk +1)-2Jvs ^ 1, к к
откуда сразу вытекает (39.5).
X. К § 65
Для вывода дисперсионного уравнения (65.16) используем уравнения
Максвелла и результаты § 36. Из (36.12), (36.7) и (36.6) следует,
что
е0-еа
&П - - й>|, 622 - - l)> bi2 - b2i - (i>t~\/r ^п
тогда уравнения движения (36.5) приобретают вид
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed