Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
представления D0 могут быть разложены в прямую сумму неприводимых D.
Тогда соответствующие энергетические термы, под влиянием возмущения,
расщепляются.
Правила отбора определяются исчезновением или неисчезновением матричных
элементов вида (п', a', i'[M$j\n, а, (>¦ Здесь Мр/-скаляры, компоненты
вектора или компоненты тензора, которые преобразуются как волновые
функции по определенным неприводимым представлениям (здесь-как /-й ряд Р-
го неприводимого представления). В общем случае с помощью проекционных
операторов каждый оператор М в матричном элементе может быть разложен
следующим образом:
M=2(V^/M=2*V э/ э /
Произведение Мр.\рпа( преобразуется по /7-й строке представления
произведения DP0D(r). Последнее разлагается: DP0D(r) = 2 gpayDV.
Соответственно
v
разлагается произведение г|)Мрррпа;. Это можно выразить в общем виде:
произведение двух функций fa и gP содержит аддитивную часть
374
ПРИЛОЖЕНИЯ
+ Л^'которая преобразуется согласно представлению у' тогда н только
тогда, когда разложение Da (r) ^• 8афу&'1 содержит член у -у'. Далее:
У
только в том случае, когда представление произведения Lr @ Da содержит
член Da', матричный элемент <а'| | а> отличен от нуля.
Этот вывод можно сформулировать иначе: пусть в интеграле <a',i|a, i> a '
= ?; это значит, что фа,^ преобразуется по единичному представлению De.
Выберем еще = const. Этот выбор безусловно удовлетворяет
необходимым требованиям преобразования. Отсюда следует, что J <fa{dx = 0,
кроме случая а = Е. Это значит, что интеграл от функции только тогда
отличен от нуля, когда функция содержит части, которые преобразуются по
единичному представлению.
Мы применим это к нашим матричным элементам перехода. Тогда
Da' (r) D* (r) D" = ^ geayDa' (r) Dt = 2 8^ 2 ia, =
V У б
=2(2ww)
Произведение может аналогичным образом быть разложено в ряд
членов, которые преобразуются по различным представлениям.
Отсюда следует вывод: матричный элемент <я\ a', i' | | п,а, iy
только тогда отличен от нуля, когда представление произведения Da'@D^@Da
содержит единичное представление DE.
Дальнейшие относящиеся сюда выводы, как, например, о независимости
матричных элементов от i - i' н т. д., можно использовать, чтобы
сравнивать между собой матричные элементы, например вероятности
переходов, не зная нх количественных значений.
§ б. Свойства симметрии зонной структуры в простой кубической решетке
В § 26 мы уже приводили пример для обсуждения зонной структуры с точки
зрения теорнн групп. Исследованная там гексагональная плоская решетка
слишком проста, чтобы на ней можно было увидеть преимущества рас.
смотрения симметрии. Поэтому в качестве следующего примера мы рассмотрим
простую кубическую пространственную решетку. Мы не будем здесь повторять
замечания из § 26 о неприводимых представлениях пространственной группы.
Простая кубическая решетка будет определяться векторами a{ = aei, где в{-
единичные векторы в декартовой системе кссрдннат, а-постоянная решетки.
Обратная решетка задается величинами b[ - (2nja)ei. Ячейка Внгне" ра-
Зейтца и зона Бриллюэна показаны на рис. 107, а, б.
Группа точечных преобразований, оставляющих куб нквариантным (обозначение
точечной группы: Од), содержит следующие операции:
Е-единичный оператор,
§5] СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 375
С3-восемь вращений на ± 2я/3 вокруг четырех пространственных диагоналей,
Са - трн вращения на я вокруг кубических осей, перпендикулярных к ребрам,
С4-шесть вращений на ± я/2 вокруг кубических осей, перпендикулярных
граням,
а) 5)
Рис. 107. а) Ячейка Вигнера-Зейтца, б) зона Бриллюэна для простой
[кубической решетки.
С2' - шесть вращений на я вокруг диагоналей граней; далее еще 24
элемента, в которых каждый из названных элементов дополнен инверсией.
Точечная группа, таким образом, имеет 48 элементов, которые распадаются
на десять классов. Точечная группа Од есть прямое произведение точечной
группы собственных вращений (О) и группы инверсий {Е, /}.
Установим сначала таблицу характеров группы О. Так как 0 имеет пять
классов, то, следовательно, и пять неприводимых представлений. Далее, так
как 2^0=24, то единственная возможность для размерностей представлений ос
следующая: два трехмерных представления, одно двухмерное и два одномерных
представления. На основании вышеизложенного метода для группы октаэдра
получаем таблицу характеров:
376
ПРИЛОЖЕНИЯ
Далее, таблица характеров для группы, состоящей ич единичного элемента н
инверсии, будет:
Е /
Di 1 1
D, 1 - 1
Таблица характеров для Од образуется из произведений обеих групп:
Обозначения для неприводимых представлений сложились исторически. Мы
вернемся к этому ниже. Оговорим теперь специальные точки в зоне
Бриллюэна.
Центральная точка Г
Группа Л-векторов есть полная точечная группа О/,. Согласно размерностям
неприводимых представлений энергетические зоны в Г могут быть простыми
или дважды, или трижды вырожденными. Симметрии блоховских функций в Г
получаются из следующего рассмотрения. Каждому элементу группы мы можем
