Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
представлений Гь Г12, Г16, и Г26,.
При прямом однофотонном переходе из s-зоны могут быть достигнуты только
зоны с р-симметрией. Для двухфотонных переходов, вследствие необходимого
в этом случае промежуточного состояния, конечными могут оказаться четыре
зоны разной симметрии, однако не симметрии однофотонного перехода. Именно
поэтому одно- и двухфотонная спектроскопия дополняют друг друга.
Прн сравнении инфракрасного поглощения с рамановским рассеянием (§79) в
матричных элементах переходов стоят различные операторы, так как оба
явления имеют различное физическое происхождение. Поэтому неудивительно,
что и в этом случае оба процесса подчиняются различным правилам отбора.
Можно показать, что в решетках с центром инверсии колебания решетки будут
либо "раман-активными", либо "инфракрасно-активными"; это значит, что эти
возможности друг друга исключают.
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
Г. к § 3
Для вывода выражения (3.8) для энергии системы Е вычислим вначале
где Ф равно определителю (3.7), <fk(4i) = (tik-элементу f-й строки fe-ro
столбца этого определителя, dx = dxi dx2..-dxN. Определитель |] гр^ (<7/)
|| состоит из N\ слагаемых, каждое из которых есть произведение N функций
ф*(&=1, 2, ... N) от аргументов ^,(? = 1, 2, ..., /V). Разные слагаемые
отличаются /V! перестановками qi. Выберем одно из этих слагаемых, которое
обозначим через а; тогда при умножении на N\ слагаемых только одно
слагаемое определителя || q>fe, (q{t) | будет содержать те же функции от
тех же аргументов. Интеграл от произведения а на это слагаемое, в силу
нормировки функций <р&, даст 1; интеграл же от произведения а на все
остальные слагаемые | <рк, (q(r) ||, в силу сртогональнссти функций <р*,
даст нуль; в самом деле, все остальные слагаемые в ||<pft, (q(,) ||
отличаются от а тем, что хотя бы две функции в них от тех же аргументов
иные. Так как это рассуждение применимо к каждому из N\ слагаемых в
||ф*(9/)||. то интеграл правой части (1.1) равен 1, т. е. функции Ф
нормированы на единицу.
Вычислим теперь
где H(qi) - одночастичный оператор, зависящий только от координат i-й
частицы.
Разложим определитель (3.7) по элементам i-й строки:
N
ф = (Лг!)~ 1/2 {Л1-1ф1-1 + Л-2<Р/г+ • • -+AiN<Pw} = (M)- 1/2 X 0-3)
где Aih^=(-1), + АД;*-алгебраичгског дополнение к элементу ф/** а Ац,-
относящийся к нему минор, т. е. определитель (/V-1)-го порядка,
получаемый прн вычеркивании t-й строки и fe-ro столбца.
интеграл
J Ф*Ф dx,dx2..-dxN^ J fl<pj Ш INK tit.) \№> (U)
N
N
(1.2)
386
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
_1_
лп
Для интеграла в (1.2) имеем N N
Aik^ik-dx=m^
J k=\ k'=\ ¦ *, k'
Так к?к Л**. и A;k от q; не зависят, то мсжно проинтегрировать
произведение A\kAik, по всем dx]^t, кроме di;. Так как при к ф к'
содержит
разные наборы функций ф/j, то интеграл от них по dx | ф ^ равен нулю;
остается только интеграл
^ A*kA/ftdrj Аг*А/*йт| ^ j- (1.4)
равный, в силу соображений, изложенных выше, (N-1)!. Таким образом,
(1.2) равно
N N
X X ) *Р* (9i) # (Qi) Ф/i (Qi) dx;. (1.5)
i = 1 *= 1 '
Определенные интегралы по dx; отличаются 'только обозначением переменной
интегрирования, т. е. одинаковы для всех i; поэтому для (1.5) получим
N
У] \ ф? (q) Н (q) фЛ. (q) dx.
*=i J
что совпадает с первым слагаемым в (3.8).
Вычислим теперь член в энергии, связанный с парным кулоновским
взаимодействием электронов; имеем
С, j 4 I. f - 1
Здесь г;/-расстояние между t-м и /-м электронами, зависящее от их
координат, т. е. г//= | Г/-Г/!; штрих у суммы указывает иа исключение
слагаемых с ( = /, коэффициент 1/2 учитывает, что каждая пара электронов
(f, /) должна фигурировать один раз.
Разложим определитель Ф = (М\)~ 1'/2'[|ф,'/г(| по элементам г-й и /-й
строк:
1. N 1. v I. лг
}Л\ПФ= У, (-1),+ *Ф,-*А"- 2 5! (-0/+*+У+|Ф/*Ф/А (1.7)
ft k X (Ф k)
Здесь Д,-*,-определитель, полученный из Ф при вычеркивании i-ti строки и
k-ro столбца, а 1\%-определитель, полученный из А,> вычеркиванием /-й
строки и I-го столбца. Диалогично выразим Ф*. Очевидно, что не
зависит от q; и q/\ поэтому, тдставтяя (1.7) в (1.6), можно произвестя
интегрирование по всем dx | ^ { ^, кртиэ dr; и dxj. Легко видеть, что при
k'=ak, /'=*/ или при ?'=/, t'*~k интеграл
J Vft')* Лг* (dx)* t. k -(/V-2)J1, (1.8)
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА 387
а в остальных случаях равен нулю (аналогично вычислению (1.4)); другими
словами, для того чтобы (1.8) было отлично от нуля, необходимо, чтобы в
ф* и Ф были вычеркнуты одни и те же строки и столбцы, так как в противном
случае все слагаемые подынтегрального выражения в (1.8) содержат хотя бы
одну пару взаимно ортогональных функций щ, интегрирование по которым дает
нуль.
Подставляя (1.7) в (1.6) и производя интегрирование по всем dx | ф ; >
получим
,'(N-I N
, Г 1, N 1, N 1, N 1, N 1
? 2 Ф^'М'ТТ. ? Ф/АФ/I =
Г u l, N " ,
2 XF
L *
I 1, N 1, N " . , . , ,
e;i V' 1 V V f 1 I 1 Ф/гI
T 2* N {N - 1) I Zd 2* J ri}
I, j
¦ dXi dXj -
1, N 1, N * * ~\
V ? i dXi dXj I =
t k I)" Г(1 J
""V' i IГ 1ф*№<-)Г1фЛ0/)12 j ,
