Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Дополнительное рассмотрение свойств симметрии в гл. V целесообразно
применить в двух пунктах.
На рис. 48 мы привели дисперсионные кривые coy (q) для алмаза. К ветвям
фононного спектра мы можем применить те же соображения симметрии
пространственных групп, как и к зонам электронного спектра. Поэтому мы
можем применить некоторые заключения предыдущего примера для
интерпретации рис. 48. Алмаз кристаллизуется в кубическую решетку с двумя
атомами в ячейке Вигнера-Зейтца (структура алмаза). Он относится к
точечной группе Од. Прсстранственная группа, однако, не симморфна. Это
означает изменение условий только для точки X, но не для осей Д и Г.
Так как оба базисных атома одинаковы, то ветви LA и ТА, как,
соответственно, и ветви LO и ТО, должны быть вырождены в Г. Расщепление
Лиддена-Закса-Теллера (см. (36.13)) на оптических ветвях осуществляется
только у полярных кристаллов. Неприводимые представления для акустических
и оптических фононов группы Г должны быть трехмерными неприводимыми пред'
ставлениями группы О*. Все трехмерные неприводимые представления группы
Од расщепляются вдоль осей Дна одно двухмерное и одно одномерное
представление. Отсюда мы можем сделать вывод, что вдоль осей Д поперечные
ветви (как ТА-ветвь,так и ТО-вствь)должны быть вырождены по симметрии.
Если перейти от осей к произвольной точке, то и это вырождение будет
снято. Таблица совместности точечной группы О*, т. е. пространственной
группы структуры алмаза, показывает, что обе продольные ветви в точках X
должны быть вырождены, поперечные ветви вдоль осей Л вырождены попарно,
однако вдоль осей 2 ови расщепляются. Существенные результаты,
приведенные на рис. 48, могут быть получены с помощью теории групп.
§9]
ОПТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
383
В § 35 мы ввели тензор упругости С^тп (см. (35.11)), а также в более
простом виде-Са(3 (см. (35.13)). В C;kmn °ба первых индекса, как н два
вторых индекса, коммутативны, так же как пара ik-с парой тп. Сар есть
симметричный (бхб)-тензор. Это в обоих случаях дает 21 независимую
компоненту-константы упругости. Из рассмотрения вывода тензора упругости
Cikmn следует, что одна компонента преобразуется как определенное
произведение координат х, у а г, например, Сххуг-как х2уг. Величины С^тп
должны оставаться инвариантными к операциям симметрии решетки. Для
точечной группы О* преобразования, проведенные в § 5, показывают, что по
отношению к С2 (операции хуг, хуг, хуг) инвариантны только произведения
х4, у4, г4, угуг, хгхг, хуху, х2у2, x2z2, y2z2. Из этого следует, что из
21 компоненты только девять не равны нулю. Дальнейшие операции симметрии
показывают, что xl = yi = z2, так как при отдельных преобразованиях эти
величины переходят друг в друга. Аналогичное имеет место для yzyz = xyxy
= xzxz и х2у2 = = х2г2=у2г2. Остаются как раз три упруги е константы
кубического кристалла, полученные в уравнении (35.13).
Такое уменьшение числа компонент тензора более высокого ранга из
соображений симметрии важно и для теории явлений переноса, когда в
анизотропной среде кинетические коэффициенты делаются тензорами. В
магнитном поле соотношение между плотностью тока и электрическим полем
может быть Записано в виде
h = ai/E/ -\-o;jkEJ-BkJra;jktE/BkBiJrajki,nEjBkB1Bm +... (Б. 29)
По удвоенным индексам при этом надо производить суммирование. Большое
число компонент тензора часто удается свести к гораздо меньшему числу из
соображений симметрии.
§ 9. Оптика твердого тела
В качестве примера правил отбора, которые получаются для матричных
элементов перехода из-за симметрии решетки, рассмотрим пример из гл. IX.
Мы сравним правила отбора для одно- и двухфотонных переходов (§68 и 70).
Мы установили, что матричные элементы только тогда отличны от нуля, когда
представление произведения множителей, стоящих в матричном элементе,
содержит единичное представление. Поясним это для переходов в точке Г
кубического кристалла (точечная группа О/,). Тогда симметрия начального и
конечного состояний задается одним из десяти неприводимых представлений
Г;. Оператор импульса р - grad, вызывающий переход, преобразуется как
пространственный вектор г = {х, у, г}, т. е. по таблица симметрии Г,-,
согласно представлению Tij. Поэтому нам надо исследовать, содержит ли
произведение Гг0Г160Гд единичное представление. Исследование таких
произведений, выполненное по уравнению (Б.5), можно рассмотреть,
например, для начального состояния Г*. Таблица характеров группы О/,
показывает, что в этом случае только произведение Г160Г150Гх содержит
представление Гх. Таким образом, разрешены только переходы из Tj в Г^. Tj
имеет s-характер,
384
ПРИЛОЖЕНИЯ
Г16-р-характер. Правило отоора согласуется с условием, что при
разрешенных дипольных переходах квантовое число I должно меняться на
единицу.
Из промежуточного состояния Г16 могут быть достигнуты все конечные
состояния Г*, для которых произведение ГЖ(r)Г15(r)Г15 содержит представление
rt. Таблица характеров в этом случае показывает, что это имеет место для
