Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Так как /(0) эквивалентно под знаком интеграла б (г), а выражение в
квадратной скобке (IV.1) при a->-0 является по определению главным
значением интеграла, то из (IV.1) н (IV.2) непссредственно следует
(13.13).
*) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.- М.: Физматгиз, 1963,
фор. (16.4).
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
391
V. к § 20
Переход от (20.7) к (20.9) связан со сложной процедурой определения
характеристического уравнения для бесконечной системы уравнений с
бесконечным числом неизвестных Впт. Выведем уравнение (20.9) более
простым способом, чем это сделано в тексте.
Подставим блоховскую функцию г|з" (ft, г) - ип (k, г) zir'k в уравнение
Шредннгера (16.1); для модулирующей функции (ft, г) получим
[-^A + V(r) + ;|(*-Jp) + ^] u"(k, f) = En{k)ua(k, г). (V.l)
Здесь V (г) - периодический потенциал в кристалле, р = --оператор
импульса электрона. Для k'=k-}-x уравнение нмеет вид
\-^Ь+У(г) + ~(к-Р) + ~(*'РН%Ч* '
2т 1 v' 1 т v ri-r т 2т '
+-^-(x.*)+^j ""(*', r) = En(k+*)un{*. г). (V.2)
Если х мало, то из сравнения (V.2) с (V.1) видно, что член
h . , и\ I аг о\
-(*•/;)+-(*•*) + -ш (V.3)
можно рассматривать как возмущение.
Если нас интересует изменение энергии En(k-\~Vi)-En(k) с точностью до
членов порядка х2, то мы должны вычислить поправку к энергии от всех трех
членов (V.3) в 1-м порядке теории возмущений и от первых двух членов
(V.3) во 2-м порядке теории возмущений.
Применяя обычную теорию возмущений невырожденных состояний 1), получим
Еп (ft + х)-?" (ft) =( ип | ~ (*ф) + ~ (xft) | и" ) +
mt?n) En{k)-ElAk)
где ип-иевозмущеиные функции уравнения (V.1). Так как ип ортонормиро-
ваиы, то
Е" (ft + x) -Еп (ft) =
= -Mn)+-V*) + ^+-^ У, |х'А|8 ¦¦ (V.5)
т WT/n' ; 2т ~ т? Lu, E"(k)-Em(k)
т (Ф п) п 4 7 т 4 '
Здесь р%п = (ип | 4- у | ит) - матричный элемент импульса, взятый на
функциях и".
*) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.- М.: Физцатгиз,
1963, § 38.
392
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА
Далее, мы воспользовались тем, что матричный элемент
(un^~(x-k)\um )=^- (и-k)(un | ит) = ^- (и- k) 6пт,
и, следовательно, в сумме в (V.4) он выпадает.
Для сравнения (V.5) с (20.9) необходимо учесть, что матричные элементы
Рпт в (V.5) построены на функциях ип, а матричные элементы рпт в (20.9) -
на функциях г|з"; имеем
f1 'fh '
Рпт - I Р I = J е r Un -j- у e,ft Г и,п dx - hk$nm -f- Рпт¦ (V .6)
Подставляя матричные элементы р^т из (V.6) в (V.5), видим, что (V.5)
совпадает с (20.9).
VI. К § 21
Вычисление коммутатора [ТН] довольно сложно. Мы приведем не вполне
строгий, но простой н наглядный вывод уравнения (21.7).
I. Зависящая от времени блоховская функция электрона в зоне п с
волновым вектором k имеет вид
iEn W t iEn № t
¦>!>"(*, r, t) = tyn(k, r)e h =un (k, r) elk'rz h . (VI.I)
Построим из этих функций волновой пакет в зоне п:
¦ф (г, t) = J с (k) и" (k, г) е'*г e~lE,t w (VI.2)
Коэффициенты c(k) можно выбрать так, чтобы волновой пакет был локализован
вблизи точки й0; в этом случае интеграл (3.2) распространяется на малую
область kox-Akx < kx < kox + Akx (аналогично для ky и kz).
Разложим энергию Еп (k) в ряд вблизи точки k0:
Еп (Ь)Еп (ко) -f* *о). (VI.3)
Если c(k) и un(k, г) слабо зависят от к, то их можно вынести из-под знака
интеграла в (3.2) при значении k = k0\ тогда
ф(г, t) = u"(k о, г) е' (k°r~En </^) х
Xc(k о) J e,K,-"rad* *"<*•>'/*> ^k-kMdxk = A^n(k о, г, t). (VI.4)
Здесь интеграл А играет роль амплитуды при волновой функции (VI.I) в
точке k0.
Трехкратный интеграл А мсжет быть легко вычислен; для интеграла по dkx,
если ввести переменную интегрирования у.х = kx-kQx и обозначить х-(t/h)
(dEn/dkx)0 = sx, получим Akx
С еiSxV-xdy.x = Д- [efs*-.e~fs*Afe*] = 2 5 П (VI.5)
J tsx sx
-&ьх
ДОПОЛНЕНИЯ редактора
393
Это выражение имеет максимум при
(V,'6)
Аналогично для двух других интегралов по ку н \kz. Можно сказать, что
максимум амплитуды А в точке Гм - {хм> Ум> гм) движется со скоростью
Vn(k)=rM = -j-&aAkEn{k) (VI.7)
(мы опустили индекс "О" у k0, так как эта формула справедлива для
скорости волнового пакета (групповой скорости), локализованного вблизи
любой точки k).
Мы видим, что групповая скорость (VI.7) совпадает со средней скоростью
- </>"> выражения (20.10) блоховского электрона.
2. Если иа электрон, рассматриваемый в квазиклассическом приближеиин
действует сила F(r, vn), то работа, совершаемая ею за время dt, равна
dW = F-vn(k)dt. (VI.8)
С другой стороны, эта работа равна изменению энергии Еп (к) при
соответствующем изменении волнового вектора k; таким образом,
dW = F-v"(k)dt = gradkE"-dM=Av" (k)dk, (VI.9)
где мы использовали (VI.7); отсюда
h^-=F, (VI. 10)
что для лорентцевой силы F=- е ( Е-\-- [г>, В] ) совпадает с (21.7).
с
Отметим, что в квазиклассическом приближении и при ие слишком больших
электрическом н магнитном полях (таких, что иет переходов в другие зоиы
энергий) уравнение (21.7) справедливо при любом законе дисперсии энергии
Еп (k).
VII. К § 31
Подставим (31.2) в кинетическую энергию гамильтониана (31.1). Полагая s
