Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
сопоставить произведение координат х, у, z таким образом, чтобы,
например, комбинация г, -х, у (записывается zxy) означала, что при
преобразовании, соответствующем этому элементу, ось х перейдет в ось z,
ось у перейдет в ось -х и ось г-в ось у.
Элементам группы тогда сопоставлены:
Е: хуг
С2: хуг хуг хуг
С4: ухг yxz xzy xzy zyx zyx
Cv: yxz zyx xzy yxz zyx xzy
C8: zxy yzx zxy yzx zxy yzx zxy yzx
и дальнейшие 24 комбинации, при которых зиакн координат обратные (/ = =
xyz).
§5]
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ
377
С помощью этой таблицы мы теперь можем определить, под действием каких
элементов точечной группы О/, остаются инвариантными полиномы хтупгР и
как они преобразуются. С помощью таблицы характеров мы можем найти
представление, по которому преобразуется заданная комбинация. Так,
например, полином хуг остается инвариантным по отношению к элементам пяти
классов: Е, С2, С3, /С4, /С2/, тогда как для других классов он изменяет
знак. Это соответствует поведению базисных функций представления Гг". К
представлению Гг принадлежат все полиномы, которые инвариантны при всех
операциях О/,. Комбинации х, у, г, иначе говоря, три полинома дА^г0,
jc°e/Iz°, х°у°г1, преобразуются как матрица третьего ранга,
соответственно Г15.
Таким образом, для полиномов наинизшего порядка (без нормировочного
множителя и при х2у2z2 = 1) имеем:
Гх: 1 (это означает инвариантность по отношению ко всем преобразованиям)
более высокий полином был бы х*-j-у*-j-г*. Каждая волновая функция,
которая преобразуется по Г*, может быть разложена по таким кубическим
гармоникам: а-1 +6 (xiJryi +z4) -j- ...
Г18: х, у, z,
Г]2: z*-^±?, х2-у\
^2 5 ' • ХУ> Уг*
г2, •• хуг,
Г2ъ- z (х2-у2), х (у2-z2), у (г2-х2),
Г16,: ху (х2-у2), yz {у2 z2), гх(г2-х2),
Г2: х* (y2-z2)-\-yi (z2-x2) + zi (х2-у2),
Гг,: xyz(xi (y2-z2)+yi (z2-x2) + z4 (х2-у2)),
г 12-: хуг (г2- х , xyz(x2-y2).
Если при разложении волновой функции по кубическим гармоникам преобладает
первый член, то волновая функция представляет s-, р-, d-, ... состояния,
по терминологии, принятой для свободного атома. При этом сумма
показателей степени 1 = т-\-п-\-р в выражении хтупгР соответствует
квантовому числу вращательного импульса. Вообще говоря, блоховские
функции имеют более сложную симметрию.
Точки оси А
Группа й-векторов, т. е. те операции симметрии, относительно которых
инвариантен вектор k иа оси Д, есть группа октаэдра, рассмотренная выше.
В качестве подгруппы О/, оиа содержит Е, одно С2, два С4, два /С2 и два
/С2>. Запнлем теперь рядом таблицу характеров группы октаэдра и часть
таблицы характеров Oh (представления группы октаэдра мы теперь обозначим
от Aj до Д5):
378
ПРИЛОЖЕНИЯ
Е Сг С4 1Сг 1C*'
Ат 1 1 1 1 1
А* 1 1 -1 1 -1
Аз 1 1 -1 -1 1
а4 1 1 1 -1 - 1
А 5 2 -2 0 0 0
Е С2 /с* fC2r
Г1 1 1 1 1 1
г 2 г,. 1 2 1 1 2
3 -1 1 - 1 - 1
Г26' 3 - 1 - 1 - 1 1
1 1 1 - 1 -1
•V г,,. 1 2 1 0 -1 -2 1
Г15 3 - 1 1 1 1
Г26 3 1 -1 1
Теперь можно привести следующие рассуждения. Точка Г является также
точкой оси Д. Зоны, которые вырождены в Г, могут расщепляться вдоль оси
Д. Тогда характеры в Г должны быть равны сумме характеров зон вдоль Д.
Отсюда приходим к следующей таблице условий совместности:
IV Ai> Г2: Да, Г12: Д1 + Д2, Г15,: Д4+Д5, Г25,: Д8 + Д5,
Гг>. Д4, Г2" Дз, Г18": Дз +Д4, Г15: Дх-^-Дб, Г25: Дг-)-Де-Этим задается
[пересечение зон в точке Г при движении вдоль оси Д. Если заменить
обозначения Дз на Д8 и Д4 на А^,, то эти условия совместности можно
записать в виде Г(>: Д^+Д*. Это основа для обычных обозначений
неприводимых представлений 0/;.
Точка X на конце А-оси
Группа k в точке X имеет вдвое больше элементов, чем группа k вдоль оси
Д, так как точка X и противолежащая ей точка Хг' эквивалентны. Для
каждого элемента имеется еще соответствующий элемент с инверсией. Таблица
характеров в этом случае вытекает из таблицы для Д-представления, так же
как из О вытекала для Oh. Число представлений удваивается. Как и для
группы октаэдра, встречаются только одномерные и двухмерные неприводимые
представления. Совместны соответствующие одномерные и двухмерные
представления Д и X, поэтому при переходе из X на ось Д вырождение не
снимается.
Аналогичные соображения можно провести и для других точек и линий
симметрии, и из них следует качественная картина возможных связей между
зонами в твердом теле простой кубической структуры.
§ 6. Зоииая структура свободных электронов в простом кубическом кристалле
Для свободных электронов в периодическом поле можно, согласно § 17, в
расширенной зонной схеме построить "параболоиды" для всех точек Кт
обратной решетки:
ъ 3
?=-2^-(* + ЛГ,л)(r) для всех Кт- (Б. 19)
В приведенной зонной схеме зоны задаются всеми значениями (Б.19), для ко-
§ б!
Зонная структура свободных электронов
379
торых вектор к лежит в первой зоне Бриллюэна (ср. рис. 22). Если для
сокращения обозначить
2п 2п ...
Ki=
2л
l--(l а (h,
У.
(Б.20)
• (и+г>-
(Б.21)
(Б. 22)
