Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
SPiJ = %D (R)'SR = ^D (S-iRTtiR' = y,y)D (S~%D (/?'"/"' =
R R' R' k
= S D (S)W 2 D (RTklR' = JjD (S)kiPkJ.
k R' k
Величины pif (при заданном /) преобразуются как базисные функции
представления D. Иначе выражаясь: матрица ру содержит пх п
гнперкомплексных чисел, которые преобразуются как базисные функции. При
этом р/ft одной строки (при постоянном I и произвольном k) преобразуются
идентично. Говорят, что рih преобразуются соответственно l-й строке
представления.
Пусть Da есть а-е неприводимое представление группы G, тогда р,у =
='^iDa(R)'{jR. С помощью похожего преобразования получается для произ-R
ведения двух р?/
Р?/Р|/ = (^ПР) Р?А*36/ft-
Если Da-неприводимые представления группы уравнения Шредингера, то R надо
заменить через Од и ру - операторы, которые действуют на г|з (х)
(проекционные операторы). Мы определим новые функции
Ф"=р*Ф = %Da &)•?&>, (Б.14)
°R
где Ф (лс)-сначала произвольные функции от х. Для Фу, как и для р",
справедливо
(Б-15)
k
Таким образом, величины фу являются искомыми функциями, которые
преобразуются как базисные функции неприводимого представления. Каждый
на-бор па функций Ф" при постоянном / образует базис. Пусть группа имеет
г неприводимых представлений. Для каждого представления имеется n^pfj
базисных функций, следовательно, нз-за того, что '^na=g, всего существует
gpfj систем базисных функций. Теперь построим Ф^=р"-ф и отсюда
Mia(R)*RO=
Ra
=т ЕХа {Е) Ха {R)*Rф=X 8erRф-
Ы§) Da(R)'it ГФ-У (па/ё) Ха (R)*RQ>
ai Rai Ra
Таким образом, получим
ф=Е^ф"=Ет"р"ф- (БЛ6)
ai ai
С помощью этого уравнения любая функция Ф может быть разложена почленно^
члены преобразуются по различным неприводимым представлениям группы.
372
ПРИЛОЖЕНИЯ
В большинстве случаев известны только характеры, но не матрицы
представления. Тогда определяют проекционный оператор по характерам
'la = S Ха (Я) R = 2 Р?Г Вместо (Б.16) в этом случае следует лишь Ф = R
a/g) г|аФ. Разложение здесь показывает, содержит ли Ф части, которые
a
преобразуются как базисные функции неприводимых представлений.
Проекционные операторы позволяют найти полный набор базисных функций,
если известна одна функция. Пусть /у известна. Тогда /,• вытекает из
выражения
Ф = SDa Wfifi = ^a(RYcjyiDa (R)kffk =
R R k
=E (XD" iR)b D" *=? -f 8i*f* = -гh-
k \ R J k a a
Теперь рассмотрим внутреннее произведение двух гиперкомплексных чисел,
примененное, в зависимости от обстоятельств, к двум произвольным функциям
f н S- (р/> Щ)> т> е- интеграл функции (р/)* rjg. Пусть Р=20Я°Я и г) =
R
= ^6^,0^/, тогда, вследствие того что внутреннее произведение не должно
меняться при преобразовании обоих множителей, получим
(РЛ Vg)= 2 aRbR.{°Rf< °R'8)= S aRbR-(f'°R-'°R'S)={f. Р+П?)>
RR' RR'
где р+ = 2адОЛ_,.
R
Если теперь р = р"/ н г| = р^, то
P?/+=2Da 2 ^{R-^jQ^D^RrQ^ р"
X R-1 R
и, следовательно,
(Р"/> PU) = (Л PftfdQ =-?- 6afAft РИ-
р
Пусть, наконец, есть базнс a-го неприводимого представления и
gj* ... gP-базис (3-го неприводимого представления. Тогда следует, что
("?. /Я=(-^р?/в?. -yPS/f)
или при i = j,k=l |
(в?- ^) = ^(Р^' Рй^) = -у р"
и тогда
(в?. /")• (Б-17)
Этот результат выразим словами: функции, которые принадлежат к различным
базисным системам различных неприводимых представлений (а Ф (5), и
§4] ОБСУЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
функции неприводимого представления, которые преобразуются по разным
строчкам представления,- ортогональны.
Далее, вследствие (gf, ff) = (n*jg*) (p"g", Pflff) = (njg)(gf, PftfJ) = =
(gf, ff) следует: значение матричного элемента (gf, /?) не зависит от I.
Соответственно, использовав коммутативность оператора Гамильтона с p?jf
можно показать, что для группы уравнения Шредингера имеет место следующее
общее положение:
(fi^i Я/") = (gf, Hff) не зависимо от i. (Б.18)
Это же справедливо для всех матричных элементов, которые строятся с
помощью операторов, инвариантных при операциях группы Я.
Таким образом, мы смогли получить уже большое число важных результатов о
свойствах собственных функций уравнения Шредингера и нх классификации.
Подразделение функций, которые преобразуются по г-й строке а-го
неприводимого представления, означает введение квантовых чисел i и а
наряду с квантовым числом п собственного значения. Квантовые числа / и т
свободного атома также могут быть описаны как т-я строка /-го
неприводимого представления полной группы вращения. Функции tynia с
равными а, п и ( = 1......па
уже образуют систему базиса для определенного уровня энергии. Значения
tynia. с одинаковыми а могут, конечно, встречаться чаще; это значит, что
различные уровни, отличающиеся разными п, могут описываться одним и тем
же неприводимым представлением.
При возмущении V (H - H0-\-V) справедливо:
а) Если симметрия V равна симметрии Я0> то все вырождения (исключая
случайные) сохраняются.
б) Если симметрия V ниже, т. е. симметрия Я0 ограничивается V, то
группа Я является подгруппой Я0. Представления Я0 могут оказаться
приводимыми по отношению к Я. Это означает, что неприводимые
