Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 146

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 160 >> Следующая

то получим
8= (? + ^l)2+ (Л + У2 + (?+ ^з)г-Для волновых функций из уравнения
Шредингера следует:
гп1
г)) = е' (*+^">)-г или -ф = е Исследуем теперь зонную структуру вдоль оси
Д с конечными точками Г и X. (Результаты приведены на рис. 108.) Получим
8Г =^1+ Ч Н" ^3> 8Д = ^1 + (^3+ D(r). еХ= Й+ ^2+ (Б. 23)
для специального случая, когда ось Д направлена по kz.
Точка Г. Самым низким собственным значением является значение 8 = 0
(/х=/2=/3 = 0). Сюда относится собственная функция г|)=1. Очевидно, она
типа Гх. Соседнее, более высокое собственное значение 8=1 (/,• = /у = 0,
/*=±1). К шести возможностям (вырожденным собственным значениям)
относятся собственные функции ipi_в = exp (± (2ni/a) х, у, г). Эти
функции не преобразуются ни по одному неприводимому представлению Oh\ это
значит, что они являются базисом приводимого представления. Мы образуем
из них следующие линейные комбинации и указываем их преобразования:
Рис. 108. Пересечение зон свободных электронов вдоль Д-оси в зоне
Бриллюэна простой кубической решетки.
380
ПРИЛОЖЕНИЯ
Этот новый базис распадается на три набора базисных функций неприводимых
представлений. При малом изменении потенциала решетки (в нашем случае от
нуля до некоторого конечного значения) это собственное значение
распадается на три уровня, из которых один простой, следующий дважды
вырожден и третий трижды вырожден.
метрии на оси kz будут: хуг, хуг, ухг, хуг, хуг, ухг, ухг, ухг. Волновая
функция инвариантна по отношениюко всем операциям, следовательно, она
типа Гх. Из значения 8= 1 вытекают три зоны: е=(?- I)2, или (1 + ?2), илн
(1 -f- ?)2. Для первого и третьего случаев получается опять волновая
функция типа Aj. Во втором случае возможны значения h= ±1, /2 = /3 = 0 и
/2=± 1> h - = /3 = 0. Из четырех волновых функций можно построить
линейные комбинации:
Аналогичный анализ можно провести для X и более высоких зон. Результат
соответствует зонной модели, изображенной на рис. 108. При возмущении, не
нарушающем симметрию, могут расщепиться только случайные вырождения.
В § 27 мы виделн, что для учета спина надо оператор Гамильтона
одноэлектронного приближения дополнить членом спин-србитального
взаимодействия:
Это выражение содержит оператор спина ст (см. (27.3)). Он не коммутирует
с элементами пространственной группы 5{а|а}. Мы должны, следовательно,
расширить пространственную группу. Для этого найдем такой оператор ?>а)
для которого OaS{a|aj коммутировало бы с оператором Я. Эти произведения
образуют элементы новой пространственной группы, которая называется
двойной группой. Условие, поставленное оператором Da, следовательно,
будет
Д-ось. Самая глубокая
Операции сим-
(Б.25)
§ 7. Учет спина. Двойные группы
д + у (г)) в4
&2
ст (grad КXgrad). (Б.26)
Чт
4 im2c2
(ЭД"|"}) Н W (D"SMa}) -1=ПаН ({а|а} г) D-^H(r). (Б.27)
§7]
УЧЕТ СПИНА. ДВОЙНЫЕ ГРУППЫ
381
Оно может выполняться с пс мощью матрицы
¦ (Х+ф)
nU/2)
а
0
cos -je
О Т(х~ф)
sinTe
. & -s.n-g-e
d 2 cos e
¦ (x -<p)
(Х+Ф)
(Б.28)
где d, %> Ф - углы Эйлера для вращения a, -специальнее неприводи-
мое представление полной группы вращения, которое обладает тем свойством,
что поворот^на 2я вокруг произвольной сси переводит матрицу Dв -
Е
Рис. 109. а) Пересечения и вырождения зон вдоль Л-оси и Д-оси для
структуры алмаза при отсутствии спина, б) При учете спина все уровни
могут быть дважды заняты. Под влиянием спин-орбитального взаимодействия
некоторые зоны расщепляются. Символы дают неприводимые представления,
цифры в скобках-вырождение соответственной зоны. Когда рядом друг с
другом приведено несколько символов, это означает, что возможны различные
неприводимые представления.
382
ПРИЛОЖЕНИЯ
Тогда 0^1/2)S{a|aj и - D^1/2) S{ct|a} удовлетворяют условию (Б.27) и оба
надо считать различными элементами расширенной группы. Двойная группа,
таким образом, имеет двойное число элементов по сравнению с простой
пространственной группой. Новые вошедшие в группу элементы можно
рассматривать как произведение старых элементов и оператора {Я|0}
(вращение на 2я). Оператор {?|0} меняет знак Только вращение на 4п
дает тот же резуль-
тат, что и единичный элемент {?10}.
Число классов, а следовательно и число неприводимых представлений, не
должно удваиваться вместе с числом элементов. Размерность неприводимых
представлений простой группы, наоборот, удваивается. Эти представления
могут оказаться приводимыми для двойной группы и распадаться на новые
неприводимые представления более низкой размерности (спинорные
представления). Это согласуется с тем фактом, что собственные уровни
энергии при введении спина могут заселяться вдвойне, однако из-за спин-
орбитального взаимодействия они могут и расщепиться. Так, представления
Г16 и Г26 в нашем примере при введении спина делаются шестимерными,
однако при этом расщепляются на одно четырехмерное и два двухмерных
неприводимых представления. Такой пример покачан на рис. 109.
§ 8. Колебания решетки
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed