Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
энергии (или оператора числа фотонов). Для простоты будем считать, что
поле в начальный момент t = 0 представляет собой
чистое собственное состояние оператора энергии, в котором имеется ща
квантов, соответствующих типу колебаний
4.8]
НУЛЕВЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ПОЛЯ
227
(1а), т. е.
I ip (0)> = | nv щ, . . ., пи . . ., ПаоУ,
(4.142)
где мы сократили набор индексов (ol) до I, так что типы
колебаний различаются индексами 1, 2, . . сю. Используя соотношение
(4.100) и соотношения ортонормированности
(4.106), нетрудно показать, что среднее значение оператора Dj в состоянии
(4.142) равно нулю:
<D,> = 0. (4.143)
Аналогично можно доказать, что в том же самом состоянии (4.142)
(Bj) = 0. (4.144)
Эти результаты соответствуют классическому утверждению о том, что для
гармонических колебаний средние по времени значения величин D (г, t) и В
(г, t) равны нулю.
Теперь мы вычислим ожидаемое значение величины D2 в состоянии | гр (0)).
Согласно соотношению (4.139) имеем
D) = П<+)2 + D(fn + Dtf'DW + D^D^. (4.145)
После несложных алгебраических преобразований с использованием
соотношений (4.100), (4.106), (4.95), (4.96) и (4.140) мы получим, что
<д*(г,о> = 2-^ы?(га'"+4-)- <4Л46)
иа
Так как, кроме того,
?>2=Ед;> (4.147)
j=1
ТО
3
<х>2> = (то + 4") S Ы1 (4.148)
I, о J=1
Величины (c;a)j являются направляющими косинусами вектора в декартовой
системе координат. Поэтому 2 (е;я)/ = 1. Отсюда среднее значение квадрата
поля Л-
228
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
равно
<п*> = ^ 2 ("I- + -г) • (4-149)
Если = 0 (вакуумное состояние), то
<D*> ==-!?. 2-^L. (4.150)
Z, о
Это состояние электромагнитного поля называется состоянием с нулевыми
флуктуациями поля. Каждый тип колебаний поля в этом состоянии дает в
выражение (4.150) вклад, равный Нщ/2. Так как число типов колебаний поля
в полости бесконечно, то энергия нулевых флуктуаций поля также
бесконечна.
Эта бесконечность оказывается несущественной, ибо мы не указали способа,
с помощью которого следует измерять поле в данном состоянии. По
терминологии радиоинженеров полоса пропускания любого измерительного
инструмента конечна, и поэтому он не зафиксирует бесконечно больших
нулевых флуктуаций поля. В частности, в качестве измерительного
инструмента можно взять электрический заряд, взаимодействующий с полем.
Этот заряд займет в пространстве некоторый объем AV. Для того чтобы поле
оказало на заряд некоторое измеримое действие, потребуется время At.
Отсюда следует, что физический смысл имеют средние по пространству и
времени значения величин
D}{AV, At) = [dx^dt Df (r, t). (4.151)
Sv м
Отсюда среднее значение Df в состоянии вакуума равно <01 [ПДДЁТДО!21 0> =
(4.152)
= W)W S dx dx'dtdt'<01 Df (г,
AV At
Согласно разложению (4.140) мы имеем <0[ДДг, f) Я, (г', О 10> =
= Ы? ехР [^г (г ~ г') - С - *')]}¦ (4.158)
1,0
4.8]
НУЛЕВЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ПОЛЯ
229
Суммируя выражение (4.152) по /, чтобы получить пол-
3
ное поле, и учитывая, что 2 (ei<0i = 1> получим
3=1
3
<01Д [Dj (AF, ДОГ 10> = ¦ 2 (Щ?(дЖ X
X {dxdx'dtdt' ехР (* [&гР - юг (* - OD- (4.154) г т
где р = г - г'. Выполняя интегрирование по dt и dt' и заменяя
суммирование по I интегрированием по к с помощью соотношения (4.110),
получаем
<0|g[D)(AT.A")l-|0>= X
X ^ dk - ехр (ifcp) 4 sin2 Af), (4.155)
где (О; -> с |fe| = ск. Пока Af и AF конечны, среднее значение квадрата
поля в измеряемой области остается конечным. Только при AF-^-О и Af-> 0
это среднее значение становится бесконечным. При измерении такое
ограничение конечными объемами и конечными интервалами времени
соответствует ограничению определенной частотной полосой пропускания
измерительных инструментов .
Следует отметить, что нулевые флуктуации поля могут давать измеримый
эффект, например, в квантовой механике. В частности, они ответственны за
лэмбов-ское смещение 2Руг - 25уг уровней водородного атома, где нулевые
флуктуации поля взаимодействуют с электроном. Образно говоря, они
"индуцируют" спонтанное излучение электрона при переходе из состояния
2Ру2 в состояние 2Si/Z. Кроме того, нулевые флуктуации вызывают
спонтанное излучение в мазерах, параметрических усилителях, аттенюаторах
и т. п. В свою очередь это спонтанное излучение и является источником
квантовых шумов. Можно также сказать, что нулевые флуктуации ответственны
и за естественную ширину линий излучения атомов. Ниже, после изучения
взаимодействия электромагнитного поля с веществом, мы более подробно
обсудим все эти вопросы.
230
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
4.9. Классическое поле излучения при наличии источников
Рассмотрим теперь электромагнитное поле, взаимодействующее с заданным
распределением зарядов и токов. Это будет полевым обобщением квантовой
теории LC-контура с подключенным к нему генератором напряжения. В
квантовой электронике интереснее рассматривать поля с помощью некоторых
эмпирических моделей, чем рассматривать фундаментальные понятия поля. В
этом и следующем разделах мы приведем один из способов рассмотрения задач
