Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
по одной для каждой поляризации. Последнее следует из соотношения (4.76).
Если от тройки чисел (Z1; 12, 13) перейти к тройке чисел (-1г, -12, -13)
(для краткости будем писать I -> - I), то согласно формуле (4.82)
получим, что
h_[ - - hu (4.83)
а согласно соотношению (4.77)
со -= со г- (4.84)
Таким образом, числа I и -I соответствуют двум бегущим волнам,
распространяющимся в противоположных направлениях. И те и
другие волны содержатся в выраже-
нии (4.76).
Сумму 2 следует, таким образом, понимать как со-i
кращенное обозначение выражения вида
оо СО оо
2= 2 2 2 • <4-85)
I 1\~-оо 1г~-О0 1$=- оо
Набор из четырех чисел (71? 12, 13, а) соответствует бегущей волне с
данной поляризацией.
Легко показать, что векторный потенциал действителен. Покажем теперь, что
векторный потенциал А (г, t) и электрическое поле Е = - dAldt могут быть
выражены через канонически сопряженные переменные. С этой целью введем
обозначения
ai" (t) = alae mi 1, at (*) = ate(tm)11
(4.86)
4.4] КЛАССИЧЕСКОЕ ИОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОЛОСТИ
213
и функции
е|о ехр е/" ехр ( iktr)
Ul°(') = у\ ' =-------у=%-----' (4-87)
удовлетворяющие соотношению ортонормировки вида
\{Ula (>') lll'a' (>*)) dT=6;i'S<,a'. (4.8S)
Вместо канонически сопряженных переменных a;a и at, MOiraio ввести также
действительные переменные pia и qia по формулам
&1а - -.Гпг iPla)>
V 2h<s>l
(4.89)
Используя тождество
rot [eia ехр (+ ikif)] = + i [e?afc;] exp (+ iktr) =
CD,
= -y i - [eiokt] exp (+ iktr)
и соотношения (4.76) и (4.86), мы можем получить для электрического и
магнитного полей следующие выражения:
X {ai0 (0 ехр (^гг) - a+(f)exp(- ikp-)}, (4.90а)
1,о •
X [аг" (*) ехр (iktr) - a+ (f) exp (- ikv>)\, (4.90b)
где | kt | = соilc и k, | /г, | = kh
214 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [Г.' Г
Гамильтониан для поля в полости имеет вид
Н = ~Г i (е°(r)2 + ^2) dx = -1-2 Йй)г (ai°at + alah) =
х 1,ч
-4+ <4-91)
а
Вывод этого соотношения дан в приложении А. Хотя в классической теории
множители а+ и а коммутируют между собой, мы сохранили все же их порядок
в формуле (4.91), для того, чтобы эта формула была пригодна и в том
случае, когда множители а' и а будут рассматриваться нами как
некоммутирующие операторы.
Как и при исследовании стоячих воли (4.74), каждому собственному
электромагнитному колебанию полости можно сопоставить осциллятор, для
которого переменные pia и qia являются канонически сопряженными. Полная
энергия ноля равна сумме энерги i отдельных собственных колебаний.
В силу формул (4.91) канонические гамильтоновы уравнения движения для
поля принимают вид
dH ' дН • 2 // по\
= qla = pla, -j- = - р1а = югдгп. (4.92)
Как и следовало ожидать, они совпадают с уравнениями
движения осциллятора.
Множитель (л/2(в;в(,г)7= в соотношении (4.76) был выбран так, чтобы
гамильтониан Н измерялся в единицах Ьщ.
Илшульс поля. Выражение для импульса поля
G =-1-j [ Е Я ] с2т (4.93)
Т
выводится в приложении Б. Оно имеет следующий вид:
G = -1-^ (alBa+ + a+ai"). (4.94)
I, а
Единицы измерения снова подбираются так, чтобы импульс измерялся в
единицах /<&,, хотя наш анализ все еще остается классическим.
4.5]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОДЕ В ВАКУУМЕ
215
4.5. Квантование электромагнитного поля в вакууме
После всего изложенного выше становится очевидным способ квантования
электромагнитного поля. Для этого классическим переменным pi" и
сопоставляем эрмитовы операторы. Так как из экспериментов известно, что
фотоны являются бозонами, то мы постулируем, что операторы qu и pia
удовлетворяют бозонным коммутационным соотношениям. Для неэрмитовых
операторов аг" и afe эти соотношения имеют вид
\а1а,а+а,] = б/г-боо', (4.95)
lau,, atw] = [а+, а+,] = 0. (4.96)
Таким образом, в силу независимости осцилляторов поля операторы и
соответствующие разным осцилля-
торам, коммутируют между собой, но операторы, соответствующие одному и
тому же осциллятору, подчиняются соотношению (4.95).
Как уже указывалось ранее, уровень начала отсчета
энергии поля может быть выбран так, чтобы в гамильто-
ниане поля отсутствовала энергия нулевых колебаний. Тогда гамильтониап
принимает вид
Н = 2 Тгща+а1а. (4.97)
1,0
Импульс поля в этом случае согласно формулам (4.94) и (4.95) равен
(а+а1а + -
1,0
Однако так как k_i = - kt, то сумма '?iTikl = 0, и тогда
i
выражение для импульса принимает вид
G = 2 Hkta+aia. (4.98)
I, а
Теперь нам следует использовать все выведенные ранее соотношения для
бозонов. Некоторое обобщение заключается в dm, что теперь имеется
бесконечный набор неза-
216 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
висимых осцилляторов поля, в то время как раньше мы рассматривали один
осциллятор. Операторы аХа и at будем интерпретировать соответственно как
операторы уничтожения и р>ждения фотона частоты со?, движущегося в
направлении кг с поляризацией ст. Оператор NXa = ataia представляет собой
оператор числа фотонов, соответствующих собственному колебанию типа (I,
сг). Собственные значения Nia равны щ" -¦ 0, 1, 2, . . . Согласно
