Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Амплитуды qi (t) удовлетворяют уравнению (4.61) - уравнению
гармонического осциллятора. Поэтому с каждым собственным колебанием
полости можно связать электромагнитный осциллятор частоты сог. Мы покажем
ншке, что полная энергия поля в точности равна энергии бесконечного
набора несвязанных электромагнитных осцилляторов.
Подставляя разложение (4.59) в формулу (4.57) для энергии
электромагнитного поля в полости, мы получим для нее следующее выражение:
н = 2 <lcqm ^ (щ (г) ит (г)) dr 4-
1,771 1
+ ~ 2 Шт § (rot щ rot um) dr. (4.65)
I, т т
Первую двойную сумму в выражении (4.65) можно привести с помощью условий
(4.64) к одинарной сумме вида
1/г2 9г- Второй интеграл в (4.65) с помощью векторного 1
тождества
(rot щ rot um)=(umrot rot щ) + div [ит rot щ] (4.66) и теоремы Гаусса
приводится к виду
(ит rot rot щ) dr 4- ([umrotui\ dS), (4.67)
В
где dS - элемент площади стенки полости. В силу граничных условий (4.62)
поверхностный интеграл обращается
4.4] КЛАССИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОЛОСТИ
209
в нуль. Первый интеграл в (4.67) с помощью соотношений (4.60) и (4.64) и
хорошо известного тождества векторного анализа преобразуется к виду
Г со? г* со?
\ {(ит grad div щ) - V2 гц} dt = _ ^ (щ ит) dx =
(4.68)
Подставляя формулу (4.68) в выражение (4.65), мы получим следующее
выражение для гамильтониана поля:
(4.69)
i i
Так как величина Нг является энергией гармонического осциллятора с
частотой ац, то, следовательно, электромагнитное поле в полости
эквивалентно бесконечно.чу набору не связанных между собой
электромагнитных осцилляторов.
Гамильтоновы уравнения движения для Z-ro осциллятора имеют вид
дЯ, " дН,
- = C0,gb - = qi = Pl. (4.70)
Таким образом, величины pt и представляют собой канонически сопряженные
переменные.
Теперь мы можем, как и раньше, для каждого собственного колебания ввести
две комплексно сопряженные переменные ai и af по известным формулам:
4i
]f иг'{а* + = уЩ(""" +in)'
(4.71)
Pi
Эти переменные подчиняются уравнениям da, (t) da~}~ (t)
= - юга, (f), = mtaf (t), (4.72)
210
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
которые имеют следующие решения:
щ (<) - a,<f f, at (<) = ate(tm)i '¦ (4.73)
В переменных at и af гамильтониан (4.69) выглядит следующим образом:
Я =-. 24" !;'ы> (atai Н* aiat)- (4-74)
i
В этом чисто классическом рассмотрении переменные о, и af, конечно,
коммутируют между собой.
Таким способом мы подготовили классическую систему к
квантовомеханическому рассмотрению, которое проведено в следующем
разделе. В конечном итоге оказалось, что электромагнитное поле внутри
полости можно представить в виде системы стоячих волн. При этом величины
А, Е и Н принимают вид
А = (f) "I ('¦)>
:Е = (4.75)
Vzo f
H = -~ 2 qi (<) rot Щ (r).
Po у e0 ^
Разложение поля по плоским волнам. Электромагнитное поле иногда удобнее
выразить через бегущие, а не через стоячие волны.
Для этого мы представим векторный потенциал в виде суперпозиции плоских
воли:
2 у-----
а (г, t) 2 2 у е'°{ain ехр (A?ir - 0)it)] +
+ a+exp[- i(kir - (0^)11- (4.76)
Векторы eja и числа aia и af - константы. Вектор /гг является постоянной
распространения, причем если
4.4] КЛАССИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОЛОСТИ 211
то каждый член ряда (4.76) удовлетворяет известному волновому уравнению.
Из условия кулоповской калибровки div 4 = 0 следует, что
{&la til) = 0. (4.78)
Это условие называется условием поперечности электромагнитных волн.
Направление распространения плоской волны определяется вектором Л*г. Так
как электрическое поле jЕ -. - дЛ/dl, то в отсутствие источников из
соотношений (4.76) и (4.78) следует, что векторы JE и А перпендикулярны
направлению распространения. Это вспомогательное условие является
следствием кулоновской калибровки электромагнитного поля.
Единичные векторы ег1 и ei2 указывают на поляризацию плоской волны. Так
как обе поляризации независимы, то полное поле (4.76) является суммой
нолей с обеими поляризациями. Для удобства векторы ег1 и ei2 выберем
нерпенди куля рны ми :
(г/Л2) = 0. (4.79)
Вместо вектора fct часто бывает удобно использовать единичный вектор того
же направления
k'-psh- (4'80)
Тогда соотношения (4.78) и (4.79) могут быть записаны в виде
(его его") = 6аа', а, о' = 1,2, (кг ега) = 0. (4.81)
Часто бывает удобно вместо обычных граничных условий ввести так
называемые периодические граничные условия. Если i, j и к -
единичные векторы, параллельные
ребрам куба, то радиус-вектор и волновой вектор имеют
вид
г = :ri -\- yj zk, = к\хi -)- A;,;j -)- k\zk.
Периодические граничные условия требуют, чтобы имели место следующие
равенства:
А (и + IA,t) = А (г + Lj, t) = A (и + Lk, t) = А {>% t).
212
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [КН. iV
Эти равенства будут справедливы в том случае, если
hi = (Zxi l2j Z3k), (4.82)
где Zl5 l2 и l3 - целые числа и а интервала от - ос до + оо.
Таким образом, периодические граничные условия приводят к дискретному
набору значений постоянной распространения.
Каждой тройке целых чисел (1г, /2, 13) соответствуют две бегущие волны -
