Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
что в отсутствие источников можно использовать кулоновскую калибровку
потенциалов, которая имеет вид
div А = 0, 7 = 0. (4.54)
Тогда величины В и Е определяются только векторным потенциалом А. В этом
случае выражения для полей имеют вид
В = rot А = [х0Н\ div А = 0,
(4.55)
(r)--?. F = °-
Подставляя эти соотношения в уравнение (4.50) и используя (4.51), получим
уравнение
(4.56)
Иными словами, векторный потенциал А (г, t) удовлетворяет обычному
волновому уравнению. Таким образом, при кулоновской калибровке поле в
вакууме определяется волновым уравнением (4.56),
Энергия и импульс поля. Энергия электромагнитного поля, возбужденного в
полости, равна
H = ±^(e0E2 + \i0H2)dx =
==45[е° (^Г+т^(го1Л)2]йт' (4-57)
где dx = dx dy dz - элемент объема полости, а интегрирование производится
по всему ее объему. На основании теоремы Пойнтинга полю в полости можно
приписать импульс
G = ^[EH]dx = -zQ^votA
dr. (4.58)
206
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
В последнем выражении величины JS и 11 были заменены с помощью формул
(4.55).
Разложение векторного потенциала А {г, t) по собственным колебанияя
полости. Как уже говорилось, при кулоновской калибровке электрическое и
магнитное поля в любой точке (х, у, z) в вакууме определяются значениями
Ах, Av,Azb этой точке в момент времени t. Если мы в качестве переменных,
описывающих поле, возьмем величины А х, А у, A z, то увидим, что число
таких переменных оказывается бесконечным. Поэтому мы изложим ниже способ,
который позволит описывать иоле с помощью бесконечного, но счетного
набора переменных.
Пусть поле заключено в полость с идеально проводящими стенками. Для
простоты будем считать, что это есть куб с объемом т = L3. Излагаемый
метод не зависит от формы полости. Если нас будет интересовать поле в
свободном пространстве, то после всех вычислений для куба мы можем
положить т -> оо и перейти к результатам, справедливым для свободного
пространства. При наличии граничных условий для поля решение волнового
уравнения представляет собой бесконечным дискретный набор собственных
колебаний. Эти собственные колебания ортогональны и составляют полную
систему в том смысле, что произвольное поле в полости может быть
представлено суммой собственных колебаний с подходящими амплитудами.
Амплитуды этих собственных колебаний мы и будем использовать как
переменные, описывающие поле, вместо переменных Ах, Ау и Az. Поскольку
собственные колебания дискретны и их счетное множество, то их амплитуды
(новые переменные поля) также образуют счетное множество. Граничные
условия порождают дискретный набор собственных колебаний, а это в свою
очередь позволяет ввести для описания поля счетное число переменных.
С помощью известного способа разделения, переменных можно получить
решение волнового уравнения (4.56) в виде
А^'^) = (4-59) _1/2
где множитель е 0' введен для нормировки.
4.4]
КЛАССИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОЛОСТИ
207
Подставляя разложение (4.59) в волновое уравнение
(4.56), получим для каждого индекса I следующие уравнения:
со?
V2 щ (г) + их (>•) = 0, (4.60)
d2a
0, (4.61)
где со? - постоянные, возникающие в методе разделения переменных.
Если потребовать, чтобы тангенциальная компонента электрического поля Е и
нормальная компонента магнитной индукции В на стенках полости объема тис
поверхностью S обращались в нуль, то получится решение в виде стоячих
волн. Согласно (4.55) и (4.59) получаем, что на стенках полости
T?I |tan ~ 0, Tot 441 |uorm == 0- (4.62)
Согласно (4.54)
div uj (г) = 0 (4.63)
везде внутри полости.
Решение уравнения (4.60), удовлетворяющее граничным условиям (4.62),
представляет собой дискретную систему собственных колебаний. Они
ортогональны и нормированы на единицу, т. е. имеет место соотношение
j (>ч (г) ит {;•)) dx = 6,m. (4.64)
Т
Для того чтобы векторный потенциал А был вещественным, необходимо, чтош
функции их (;•) и qx (I) также были вещественными.
Для полости кубической формы функции их (г)
имеют вид sin(fc(,r)nHn cos (кх, г). При другой геометрии полости функции
Ui(r) будут представлены другой системой функций. Таким образом,
граничные условия и форма полости определяют типы колебаний,
различающиеся индексом I. Обычно колебания описывают с помощью трех или
четырех различных индексов. В данном случае индекс I, как будет видно
дальше, является сокращенным обозначением полного набора этих индексов,
208 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Условие нормировки (4.64) ограничивает свободу при получении выражений
для амплитуд щ. В дальнейшем функции щ {г) будут считаться полностью
известными.
Для описания любой конкретной конфигурации поля необходимо знать
амплитуды qt (t) всех собственных колебаний. Если величины дг (t) заданы,
то полностью определено и поле в полости, ибо в этом случае при известных
qi (t) определены компоненты Ах, Ау и Az в любой точке пространства и в
момент времени I. Поэтому мы будем считать переменные qi новыми
переменными, описывающими поле.
