Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
соотношению (4.97) энергия фотона в состоянии (/, а) равна /гоц, и при
этом фотон согласно (4.98) имеет импульс %кх. Таким образом, фотон
оказывается подобным частице, движущейся со скоростью с.
Так как собственные колебания полости независимы, то полный вектор
состояния может быть записан как произведение векторов состояния каждого
собственного колебания, т. е. вектор состояния электромагнитного поля в
полости может быть записан в виде
| пу I n2> . . I п^) = I п., щ, . . ., пх), (4.99)
где каждый индекс 1, 2, ... заменяет собой четверку
целых чисел (1г, 1.2, 13, а).
Вектор состояния системы невзаимодействующих бозонов должен быть
симметричен относительно перестановки любых двух бозонов. Можно показать
[10, 23], что, приписывая каждому состоянию определенное число бозонов,
мы получим волновую функцию с правильной симметрией, так что соотношение
(4.99) будет правильно описывать систему невзаимодействующих бозонов. Мы
не будем рассматривать детали этого вопроса, хотя именно такого рода
исследование и оправдывает введение операторов ata и at, как операторов
уничтожения и рождения бозонов [23].
Действие операторов аХа и at на векторы состояния (4.99) описывается
соотношениями
я&| • • м Ща, ¦ ¦ •> = УЩ0 + 1 | . . ., nla -f- 1, . . .), аю | •
м Щ<ч Ynla\• • -, nlz - 1, • • •>,
ага |..., 0.. .> = 0, (4.100)
N[a\ . . ., Пц,: . .) = Ща\ . . Щ3, . . .>.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
217
При выполнении соотношений (4.100) соответствующие векторы состояний
оказываются нормированными на единицу.
Как и в случае одного осциллятора, все эти операторы рассматриваются пока
в шредингеровском представлении. Однако легко можно перейти и к
гейзенберговскому представлению или представлению взаимодействия для этих
операторов. Так, например, гейзенберговские уравнения движения для (t)
имеют вид
da," (t)
ih -jt- = [ala (t), Hn\ = - гсогаг" (t). (4.101)
Уравнение Шредингера имеет вид д I г|)" Ц)>
ih -13' =Я3|Ы0>. (4.102)
Если Нц для бесконечного гисла невзаимодействующих осцилляторов
определяется соотношением (4.97), то
| Ы0> = ехР (- г2 ataia(0tt) |г|Д0)>. (4.103)
I, а
Произвольное начальное состояние системы можно представить в виде
I ^ (^)/> ~ ^ iP-'li ^2* • • *" 0) | * * 1
"оо>, (4.104)
пи
где вместо пары индексов Z, а мы употребляем один индекс I. Тогда
соотношение (4.103) принимает вид
I ^ (0> = 2 с К> п2, . . пх, 0) X
пи n2t...tnQO
X ехр (- i 2 I "!, п2, ..., пк). (4.105)
г,a '
Для собственных кет-векторов выполняются также соотношения полноты и
ортонормированности
218
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV'
4.6. Спектральная плотность собственных колебаний
В дальнейшем нам будет необходимо знать число собственных колебаний
полости объемом т, приходящихся па заданный частотный интервал.
Информация об этом содержится в формуле (4.82):
*,=-^(Z2i-f Z,j + Z3k). (4.107)
Каждому набору целых чисел (/1; /2, /3) соответствуют две бегущие волны с
двумя различными поляризациями. Каждое собственное колебание с заданной
поляризацией можно представить, как это показано на рис. 5, точкой в
трехмерном пространстве. В элементе объема dl^dl^dl^ этого пространства
содержится dN собственных колебаний:
dN = 2ШлШ,.Л1я. (4.108)
Используя формулу (4.107), мы получим, что, с другой стороны,
dN - 2{-j^dkxdkydkz.
(4.109)
Так как при L-"¦ оо (т. е. при переходе к свободному пространству)
величины IJL, l2/L и IJL становятся практически непрерывными переменными,
то суммирование по дискретным значениям I (!л, /г, /3) можно заменить
интегрированием:
-|-Оо
•А-Зе • о -(4.110)
I -оо
Переходя от прямоугольных координат (кх, ку, кг) к сферическим, будем
иметь
к = к (sin 0 cos cp; sin 0 sin cp; cos 0}, (4.111)
h
Рис. 5. Диаграмма нормальных колебаний в полости. Каждая тропка целых
чисел (/1, ф, 13) соответствует колебанию определенной поляризации.
4.01 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 219
и, следовательно, элемент объема в fc-прострапетве будет равен
cJfxdkydkz = k2dk sin 0 d0 с?ф = k2dk dQ, (4.112)
где dQ - элемент телесного угла в направлении /г.
Таким образом, формулу (4.109) можно переписать в виде
dN = 2{^-^k2dkdQ. (4.113)
Общее число собственных колебаний равно
8 оо 4 п
N = ^dN = 2 J k2dk ос. (4.114)
о о
В соотношении (4.113) dN равно числу собственных колебаний в объеме L3,
приходящихся на телесный угол dQ около вектора распространения 1г, модуль
которого находится в интервале от к до к + dk. Так как со2 - с2к2, то
можно найти .число собственных колебаний, приходящихся на частотный
интервал от со до со + don. Поскольку
к% dk =-^ da, (4.115)
то
dN = 2 (л^г)3 <o2d<odQ = 2(-^)*vadvdQ, (4.116)
где со = 2nv. Таким образом, число осцилляторов в единице объема,
приходящихся на телесный угол сШ и на частотный интервал от со до со +
<ico, равно
*((r))do) = (4.117)
где функция g (со) называется спектральной плотностью собственных
колебаний.
220
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
4.7. Коммутационные соотношения для полгй в вакууме, относящиеся к
