Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 68

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 122 >> Следующая

одному моменту времени
В разделе 1.13 мы видели, что коммутационные соотношения для наблюдаемых
величин тесно связаны с проблемой измерения этих величин. Для
электромагнитного поля физически наблюдаемыми величинами являются D = е0Е
и В - \i0H. В силу сопряженности операторов afa и aia и согласно
выражениям (4.90) векторы электромагнитного поля представляются
эрмитовыми операторами. Воспользовавшись коммутационными соотношениями
для операторов aia и ai~a, можно найти коммутационные соотношения для
физически наблюдаемых величин Е и Н. Это позволит выяснить
квантовомеханические ограничения на измерение этих величин, обусловленные
принципом неопределенности. Подобные вопросы играют важную роль в
квантовой электронике.
Согласно выражению (4.76) векторный потенциал также представляется
эрмитовым оператором, хотя в классической теории он не является физически
наблюдаемой величиной. Это обстоятельство оказывается очень полезным для
теории, и поэтому данный раздел мы начнем с вывода коммутационных
соотношений для векторов D и А.
Коммутационные соотношения для Ей А, относящиеся к одному моменту
времени. Если условиться, что оператор яja (t) соответствует оператору в
гейзенберговском представлении, а оператор яга = яга (0) соответствует
оператору в шредингеровском представлении в момент t = 0, то согласно
соотношению (4.76) векторный потенциал в шредингеровском представлении
будет иметь вид
^8 (Л 0) = 'Z1/' 2(Л т е"а [аю ехр (г&,-"•) +
I.a 10
+ at ехр (- гДггг)1- (4.118а)
Хотя в шредингеровском представлении фиксированный момент времени г0
может быть произвольным, его без потери общности можно положить равным
нулю.
Согласно соотношению (4.90а) оператор электрической индукции Е=е0Е в
шредингеровском представлении
4.7] КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ 221
имеет вид
DS(>\ 0)=_______
= *2|/[ffltoexp(ifc,r)- а% ехр (-iTCjv)], (4.118b)
Пусть Af (г) есть i-я компонента вектора As (г, 0), a D} - /-я компонента
вектора Ds (г, 0). Поскольку как в гейзенберговском, так и в
шредингеровском представлениях операторы а1а и а^ подчиняются
коммутационным соотношениям (4.95) и (4.96), то для коммутатора
операторов Аг- (г) и Dj (г') мы получим
[ (г), Dj (н')1 =
= -1>7 2(ег°)г (e;a)i [ехр (?кгр) + ехр (- ?кгр)], (4.119)
г,а
где
р = г - г'. (4.120)
Теперь можно выполнить суммирование по поляризационному индексу о¦ Как мы
знаем, векторы кг, еп и ег2 составляют тройку взаимно перпендикулярных
единичных векторов. Величина (ец)г есть ?-я компонента вектора ег1 в
декартовой системе координат, т. е. просто направляющий косинус этого
вектора, или косинус угла между вектором etl и осью xt. Аналогично этому,
величины (е12);-и (ki)t равны косинусам углов, которые эти векторы
образуют с осью xt. Как известно, направляющие косинусы связаны
соотношением
(en)i (еп)j + (Щг); (ei2)j + (ki)t (k[)j = 6(]-,
или
2
2 (ега)г ы, = - (к,), (к;)у == б и . (4.121)
0=1 к1
Подставляя это соотношение в коммутатор (4.119), получим коммутационное
соотношение между полями в полости в один и тот же момент времени:
I Mr), Dj (r')[ = - 42 [6у - (k,)t (k,),-] eihi*. (4.122)
222
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
В силу того, что к_г = - к+гисумма берется по всем целым положительным и
отрицательным I, ехр (- г/сгр) и ехр (+ г&/Р) удалось объединить в одну
экспоненту.
Таким образом, коммутационное соотношение между полями At (г) и Dj (г') в
полости выглядит несколько необычно. Для того чтобы перейти к свободному
пространству, необходимо объем полости устремить к бесконечности (L3 = т
-> оо). При этом согласно условию (4.110) суммы в правой части выражения
(4.122) следует заменить интегралами. В результате для свободного
пространства получим
[ЛД.-), D, (#•')] = - (г - г'), (4.123)
где
+оо
б? ^ [§dk ехр _ k*k*) (4Л24) - ОО
и dk = dkxdkydkz - элементарный объем в ^-пространстве. Введенная
согласно равенству (4.124) функция б у называется поперечной б-функцией и
не является обычной дираковой б-функцией, для которой имеет место
соотношение
+°°
6<Р) = J$dAjexP(№p) = 6(P^)6(Pv)6(Pz)- (4.125)
ОО
В приложении В будет выведено несколько полезных соотношений для
поперечной б-функции. В частности, там будет показано (см. (В.6)), что
а^ = 0, (4.126)
i=l *
где р = г - г' и xv х2, х3 - компоненты г.
Беря дивергенцию от обеих частей равенства (4.123) с учетом соотношения
(4.126), мы получим
4.7] КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ 223
Так как Dj (г') ф 0, то
Это соотношение соответствует условию кулоновской калибровки. Поэтому
соотношение (4.123) справедливо только при такой калибровке
электромагнитного поля.
Так как коммутационные соотношения одинаковы в гейзенберговском -и
шредингеровском представлениях, то согласно (4.123) мы можем записать
равенство
где t - один и тот же момент времени для At и Dj.
Следует еще раз подчеркнуть, что хотя коммутационные соотношения между
Дг- и Dj необходимы в теории, величина At не является физически
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed