Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
(а+а) = х2.
Так как аа+ = 1 + а+а, то (аа+) = 1 + (а+а) = 1 х2.
Таким образом, соотношения (3.153) доказаны.
Из определений операторов а и а+ (см. (2.20Ь)) следует,
что
q = V +а)' д2 ^ ik (а+2 + а2 + аа+ + а+а)'
(3.155)
р = - i j/"4^- (а+ - а), р2 - - (а+2а2 - аа+ - а+а).
Из соотношений (3.153) и (3.155) следует, что
<?> = ^х' <р> = °>
(3.156)
(д2) = ±(4х2 + 1), <р2>=+^.
Отсюда мы получаем
(Л?)г=-^, (Л р)2 = -^, (3.157)
и, следовательно, справедливость соотношения (3.150) доказана. Итак,
вектор состояния | "ф (?)> представляет собой волновой пакет с
минимальной неопределенностью. Он
184
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. Ill
задан формулой (3.149) в координатном представлении. Средняя энергия
пакета, в соответствии с (3.156), имеет вид
<я> = -L <(р2 + coV)> = й<0 (*2 + 4-) • (3-158)
При выводе этой формулы использовано известное выражение для
гамильтониана осциллятора
Я = 4~(р2 + оА?2) = Яш [а+а -|-j • (3.159)
Таким образом, мы определили физический смысл параметра х'{ Он
представляет собой среднее значение от оператора а+а, т. е. среднее число
квантов в волновом пакете.
Теперь рассмотрим, как этот волновой пакет изменяется во времени. Решение
уравнения Шредингера имеет вид
| ф (<)> = е~ш (о+0+V.) [ ф (0)>. (3.160)
Если в качестве | ф (0)> мы выберем волновой пакет с минимальной
неопределенностью (3.133), то получим
оо
| ф(<)> = е-ш/ге-Ша+ае-хЧг ^ -f=-\ п>. (3.161)
о ' л!
Так как / (а+а) \ п) = / (п) \ п), то
°° -icof
| ф (*)> = е-^ег^ 2 {Xey-J--1 п> =
= е-^-^2.^41а+)П |0> =
о
_ е-ш!2е-х*!2 ехр (хе~ша+) | 0), (3.1.62)
где промежуточные выкладки очевидны. Таким образом, показано, как
развивается во времени осцилляторный волновой пакет с минимальной
неопределенностью. С помощью техники, только что использованной для t =
0, легко показать, что для состояния | ф (/)> имеют место
У.8] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СПИНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 185
соотношения
<д) = хуГ ^ cos (of, <?2> = <?>2 +
(3.163)
<р> = а; уДйсо sin coi, <р2> = <р>2 -)- 4^- ,
так что
АрАд = * . (3.164)
Таким образом, если в начальный момент времени волновой пакет для
гармонического осциллятора обладал минимальной неопределенностью, то и
для всех других моментов времени произведение неопределенностей Ар Ад
останется неизменным и равным минимальному значению - hi2, т. е. в этом
случае волновой пакет не расплывается в отличие от волнового пакета для
свободной частицы, который был рассмотрен в гл. I.
Как видно из выражения (3.163), центр волнового пакета совершает простые
гармонические колебания точно так же, как классический осциллятор.
Квадраты модулей волновых функций в координатном и импульсном
представлениях - | (д' |ф (0>|2 и | <р'|Ф (0>12 - являются гауссовскими
распределениями вероятностей с центрами в <д) и (р) соответственно, в чем
читатель может убедиться самостоятельно. Среднеквадратичные отклонения,
соответствующие этим двум распределениям, связаны соотношением (3.164).
3. СПИНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПАУЛИ
3.8. Алгебраические свойства спиновых операторов при s = 1/2
В разделе 2.6 мы ввели спиновые операторы Паули. Эти операторы
подчиняются совершенно иной алгебре, чем бозе-операторы, и в данном
разделе мы выясним некоторые их свойства. Хотя на самом деле спин равен s
= hal2, но мы и в дальнейшем ради удобства будем называть и спиновым
оператором.
Теорема 11. Если п - положительное целое число, то
Кст_Г = сг+сг_. (3.165)
186
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. Ш
Доказательство. Мы можем легко доказать эту теорему с помощью соотношений
(2.80j) и (2.81):
сг+сг_ + ст_ст+ = 1, а% = at = 0. (3.166)
Таким образом, получаем
(ст+о_) 2 == сг+о_ст+о_ == cr+ (1 - ст+о_) о_ = а+а_,
и теорему легко доказать методом математической индукции.
Теорема 12. Если / (о+а_) - любая функция от <х+о_, которую можно
разложить в степенной ряд по (ff+ff_), то тогда
/ К<х_) = / (0) + [/ (1) - / (0)] 0+о_. (3.167)
Доказательство. Для доказательства мы разложим функцию / в степенной ряд
и используем соотношение (3.165). Тогда получим
оо оо
/ (3+0-) = 2 /п (3+б-)П = /о + 2 /п°+3- =
п=0 П=1
оо
= / (0) + [ 2 /" - / (0)] б+б_ = / (0) + [/ (1) - / (О)] о+<з_.
71=0
Проиллюстрируем эту теорему следующим примером:
/ (<3+<3_) = <Г ^ = 1 + (<гБ - 1) <3+С5_, (3.168)
где | - параметр.
Теорема 13. Если | - параметр, то
е^\е-^ = а+еБ, (3.169а)
e^W^V2 = а_<г*. . (3.169Ь)
Мы докажем эту теорему двумя способами и укажем идею еще одного
доказательства.
Доказательство 1. Для этого доказательства мы используем равенство
(3.168). С помощью соотношения (2.92) получаем
<з+<з_ = -j- (1 + az). (3.170)
3.8] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СПИНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 187
Подставляя это выражение в формулу (3.168), мы видим, что
е^г'2 + а') + 4-^/2(1 -аг). (3.171)
В то же время из соотношений (2.86) и (2.85Ь) видно, что
or+orz = - <з+ = -nzcr+. (3.172)
Если мы умножим выражение (3.171) одновременно слева и справа на сг+ и
примем во внимание (3.172), то найдем, что
a+e~'V2 = ewa+, (3.173а)
е-^\ = е-^. (3.173Ь)
