Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Можно ввести также неэрмитовы операторы а и а+, которые с помощью
соотношения (2.20) выражаются через токи и заряды. Для них коммутационное
соотношение имеет вид
[а, а+] = 1. (4.5Ь)
Легко видеть, что гамильтониан выражается через операторы а и ал
следующим образом:
II (t) - Пщ ( а'а + ' <'а+ + а'1'
Если положить
'"=-Г7Ж/ (4Л>
то выражение (4.6) совпадет с гамильтонианом гармонического осциллятора,
возбуждаемого внешней силой (3.107). Так как уравнение Шредингера для
этого случая уже решалось раньше (см. гл. III, (3.119)), то мы этим
решением можем воспользоваться. Хотя формализм одинаковый, физический
смысл операторов различен. Оператор числа квантов а'а в осцилляторе
становится оператором числа фотонов в LC-контуре, а операторы а и а+ -
операторами уничтожения и рождения фотонов соответственно. Точно так же
величины р и q теперь не импульс и координата, а ток и заряд. Таким
образом, согласно соотношениям (3.119) состояние контура в момент вре-
4.2] LC-КОНТУР, ВОЗБУЖДАЕМЫЙ ГЕНЕРАТОРОМ 195
мени t и его состояние в момент t0 = 0 связаны соотношением
| ф (*)> = С'4 (Ое~Шо (а+а) 1еС <0 a+eB(0 а | ^ (4_g)
Согласно соотношениям (4.7), (3.112) и (3.117) функции A (t), В (t) и С
(t), выраженные через е (t), имеют вид
A (f) = - j dt'C* (t') f dt"C(t"),
0 0
B(t) = -C*(t), ' (4.9)
С (t) = i (L Y2Йю0 )_1 | e (t') eHu">''dt'.
0
Как следует из задачи 3.14, имеет место полезное соотношение
A (t) + A* (t) = - | С (t) |2. (4.10)
Рассмотрим специальный случай, когда исходным состоянием контура является
так называемое состояние вакуума | ф (0)> = | 0>, когда а |0> = 0.
Так как
еВ(0а|0> = |0>, (4.11)
то равенство (4.8) принимает вид
| ф(С) = еА (l)e~ia>ata+aeC (t) а+ | Q). (4.12)
Это выражение можно несколько преобразовать. Так как имеет место
равенство
/ (а+а) I 0> = / (0) | 0>,
то
10> = eib>°ta+a 10>, и, следовательно, выражение (4.12) можно записать в
виде J ф(?)^ - СА (0^-4ыоta+a^C (t) a+giw^a ^ а | Q\
196 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Преобразовав это соотношение в соответствии с (3.3) (см. теорему 1 в гл.
III), получим
|ф(?)> = еА (*) ехр [e~iu,,>'a+aC (t) a+eiu"sta+a] j 0).
С помощью соотношения (3.47b), в котором положено х = - ia)0t, легко
получить
| г); (?)> = еА Л ехр [С(t) е-*""'а+] | 0). (4.13)
В разделе 3.7 (соотношение (3.133)) мы показали, что состояние вида
| г|5> = е~х21*еха+ | 0> (4.14)
соответствует волновому пакету с минимальной неопределенностью. При этом
мы предполагали, что х - действительная величина. Теперь мы покажем, что
функция (4.13) также соответствует волновому пакету с минимальной
неопределенностью в переменных q - заряд и р - ток.
Сначала покажем, что норма кет-вектора |ф(?)> равна единице, т. е. <ф (t)
| ф (?)> = 1. Для этого с помощью формул (4.10) и (4.13) для нормы | ф
(?)> получим следующее выражение:
(t) | ф (t)y = е- 1 с 1! <0 j ezaez*a+ [ 0), (4.15)
где
z* = С (t) e_ia>°*. (4.16)
Используя соотношение (3.20) (см. теорему 4 в гл. III) и коммутационное
соотношение [а, а[] = 1, мы можем преобразовать выражение (4.15) к виду
<ф (t) | ф (t) > = е-1 с <*> 1!е'212 <0 | ez*a+eza | 0>.
Если заметить теперь, что
еш 10> = 10>, <0 | е2*а+ = <0 |, (4.17)
и учесть формулу (4.16), то можно привести выражение (4.15) к единице.
В качестве упражнения для читателя предлагаем показать (см. соотношения
(3.153)), что для состояния
4.2] LC-КОНТУР, ВОЗБУЖДАЕМЫЙ ГЕНЕРАТОРОМ
197
| ф (?)> вида (4.13) имеют место соотношения (а) = <г|> (?) | я | ф (?)>
= z*, (а2) = z* ,
(а+2) = z2,
(аа+) = 1 + | z |2, (4.18)
<?>-/s (* + *')¦
Л.
<,•> = ,? BW + l+s' + O.
Отсюда следует, что
Д?Др=-|-, (4.19)
и поэтому (4.13) представляет собой волновой пакет в переменных заряд -
ток с минимальной неопределенностью, причем соотношение (4.19)
справедливо в любой момент времени. Таким образом, в противоположность
классическому случаю в квантованном LC-контуре ток и заряд не могут быть
точно измерены одновременно. Измерение д с точностью Ад дает в р
неопределенность Ар = h/2Ag.
Легко видеть, как может возникнуть подобного рода состояние с минимальной
неопределенностью. Это происходит в том случае, когда напряжение
генератора возбуждает контур, находящийся в вакуумном состоянии. При этом
состояние с минимальной неопределенностью возникает независимо от формы
внешнего сигнала е (t).
Состояние с минимальной неопределенностью можно рассматривать также и
другим способом. В соответствии с общей теорией, развитой в первой главе,
вероятность того, что при измерении величины а+а в момент t будут
получены т фотонов, если точно известно, что в момент t = 0 фотонов не
было, равна просто
(а+) = z,
<а+я) = | z |2 = | C(t) \2,
<Р> = i (г - z*)'
<Рг> =-S-fl(2jZ|2 + l-z2-
Рш, 0 (<) = j (rn I ф (f)> J2 = е^+ j 0> |а, (4.20)
198 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
где величины | ф (t)} и г* определяются формулами (4.13) и (4.16). Если
экспоненциальный оператор разложить в ряд, то, используя соотношения
