Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 52

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 122 >> Следующая

того, представлена ли функция / в нормальной форме или пет. Важно только
помнить, что при применении теоремы необходимо сохранять порядок
сомножителей.
Мы можем использовать эту теорему при приведении к нормальной форме
выражений яДп) и Дп>а+. Если функция /(п> записана в нормальной форме, то
ясно, что я/(п) и /("> я+ не приведены к нормальной форме. Однако,
используя (3.39), мы получаем выражения
а/<"> = /(п)я , /("> а+ = а+/(п) + д-~-, (3.44а)
правые части которых представляют собой нормальные формы. Поэтому с
помощью (3.32) мы можем записать
160
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. Ill
эти выражения в виде
а/<") = N j^a + j /(п) (а, а+)} ,
/(")"+ = N {^я+ + -Pj /<"> (я, а+)}. (3.44Ь)
Таким образом, дан простой метод приведения выражений вида а/(п) и /(п)
а+ к нормальной форме. Снова отметим, что под знаком оператора N величины
а и а+ становятся с-числами. Поскольку правая часть равенства (3.44а) уже
была приведена к нормальной форме, то применение к ней оператора N в
соответствии с (3.32) оставляет ее неизменной.
Теорема 8. Если функция /" (а, я+) представлена в нормальной форме, то
am/<n> (а, а+) = N |^я -f j(tm) /(п) (а, а+)|,
/<"> (а, а+) а+т = N p+Jr р^ /(п) ("" (r)+)} > (3.45)
где т - целое число.
С помощью этой теоремы можно представлять в нормальной форме выраяюния
вида ат/0) и /О) а+т. Ее легко можно доказать с помощью метода
математической индукции. Это мы предоставляем сделать читателю.
Т е о р е м а 9. Если / (а, я+) можно разложить в степенной ряд по а и
а+, то тогда
exa+af(a, а+) е~ха+а = /(ае~х, а+ех). (3.46)
В частности,
gxa+a^-xa+a = ag~x, ¦ (3.47 а)
еха+а а+е-ха+а = а+е*' (3.47Ь)
Доказательство. Формулы (3.47) можпо доказать с помощью соотношения
(3.14). Однако мы используем нияю более простой метод. Обозначим
F (х) = еха~^а ае~ха^~а, F (0) = а.
3.4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ 161
Тогда
= еха+п [а+а, а] е~ха+а = - еха+аае~ха+а = - F (х),
где использовано соотношение [а+а, а] = -а. Решение этого уравнения имеет
вид
F (х) = F (0) егх = ае~х,
и соотношение (3.47а) доказано. Аналогично доказывается формула (3.47Ь).
Здесь функция F (х), по существу, оператор а (х) в гейзенберговском
представлении, если в гамильтониане Н = Ньз (а+а + 1/2) положить х = iat.
Для доказательства равенства (3.46) левую его часть представим в виде
exa+aj (а, а+) е-ха+,1 __ / (ежо+" а(,-ха+а^ еха+аа+е-ха+а}
и воспользуемся соотношениями (3.47).
Хотя формула (3.46) справедлива в том случае, когда функция /(п) задана в
нормальной форме, эта формула не дает никакого метода приведения
выражений ежа+а/(") и /(") еха+а к нормальной форме. Мы предлагаем
читателю выяснить причины этого.
Лемма. Если | 0> - состояние вакуума, так что а | 0) = 0, и г и г/ -
параметры, то тогда
еха+аеуа+ | Q) == ехр (уеха+) 10>. (3.48)
Доказательство 1. С помощью (3.46) получаем
еха+аеуа+ _ еХр (уеха+) ежа+°. (3.49)
Пусть / (а+а) - любая функция от а+а. Тогда
/ (а+а) | пУ = / (п) | ге>, (3.50)
ибо а+а | п) = п \ п}. Отсюда следует, что
еха+а 10> = 10>, (3.51)
и мы получим формулу (3.48), если применим обе стороны операторного
равенства (3.49) к состоянию вакуума | 0>.
162
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
Следующий метод доказательства этой леммы называется экспоненциальным
методом. Он оказывается очень полезным при решении задач операторной
алгебры. Этот метод основан на некотором предположении, правильность
которого легко проверяется после того, как получено решение задачи. В
сущности, этот метод состоит в угадывании того, какую форму имеет ответ в
задачах типа (3.48). Таким же образом с помощью простых пробных функций
решаются дифференциальные уравнения.
Доказательство 2. Предположим, что левая часть (3.48) может быть записана
в форме
exa+aeva+ | Q) = eG(x, у, а+) | Q), (3.52)
где G - простой степенной ряд по а+,
G (х, у, а+) = А (х, у) + В (х, у) а+ + С (х, у) а+2 + ...
(3.53)
и А, В, С, . . . суть с-числа, которые подлежат определению. Если мы
положим х = 0, то из равенств (3.52) и (3.53) следует, что G должно
удовлетворять тождеству
G (0, у, п+) = уа+=П(0, у) + В (0, у)а+ + С (0, у)а+2+...,
(3.54)
из которого вытекает, что
А (0, у) = 0 = С (0, у) = D (0, у) = . . ., В (0, у) = у.
(3.55)
Из принятой выше формы для функции G ясно, что
G, ~] = 0. (3.56)
Поэтому, если мы продифференцируем обе части (3.52) по х и умножим слева
на e~G, то получим
с-^пс"|0> = ^ |0>. (3.57)
Так как функция G по предположению является функцией только от п+, то ехр
(-G) коммутируете а+. Тогда равенство (3.57) сводится к
а+е-°ае° \ 0> = ~ | 0>. (3.58)
3.4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ 163
С помощью теоремы 3 (см. (3.14)) получаем e~GaeG | 0> = {а + la, G] +
[[a, G), G] + ...} | 0>. (3.59)
Первый член в выражении (3.59) исчезает, так как а [ 0) = 0. Далее, из
формулы (3.39а) теоремы 7 следует, что [a, G] = dGlda+, и, следовательно,
этот коммутатор является функцией только от а+. Поэтому все коммутаторы
высших порядков в выражении (3.59) равны нулю. Отсюда следует, что
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed