Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
производящая функция представляет собой волновой пакет с минимальной
неопределенностью. Мы изучим развитие такого осцилляторного пакета во
времени и сравним его с волновым пакетом для свободной частицы (см.
раздел 1.19).
Вначале заметим, что, поскольку собственные кет-векторы {[и)} образуют
полную систему, мы можем разложить произвольный вектор состояния
| ф> в фиксированный момент времени (например, t
= 0) следующим
образом:
ОО
|ф>=2<Ф>, (3.131)
п=0
где коэффициенты разложения сп являются с-числами. Для того чтобы найти
искомую производящую функцию, выберем определенное состояние | ф>, для
которого коэффициенты сп заданы следующей формулой:
с" = (3.132)
у п!
Мы предположим, что х - вещественный параметр, хотя возможны и
комплексные значения х. Вектор состояния | ф), который задан
коэффициентами сп, с помощью формулы (2.40) можно представить в виде
n=0 V n=0
= е-*'/2е*"+10>, (3.133)
где | 0) - состояние вакуума. В последнем равенстве проведено
суммирование по индексу п. Нетрудно видеть, что
<ф | ф> = е~х' <0 | ех'еха+10> = 1. (3.134)
180
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
Действительно, представим оператор ехр (ха) ехр (.га+) в нормальной форме
с помощью формулы (3.20) теоремы 4. Пусть А = ха и Б - а:а+; тогда
ехаеха+ = еха+ехаех*' (3.135)
ибо [а, а+] = 1. Отсюда получаем
<ф|ф> = <0| еха+еха | 0>. (ЗЛ36)
Функция от операторов представлена теперь в нормальной форме.
Преимущество такого представления очевидно благодаря равенствам
е*а|0> = |0>, <01 еха+ = <0 | (3.137)
(см. задачу 2.4), и, следовательно, <ф |ф> = <0 |0> = 1.
Если мы выразим вектор состояния в координатном представлении с помощью
формулы (3.133), то получим
ф(д') = <д'|ф> = е-**/2<9'|е*а+|0>, (3.138)
где (q | - бра-вектор с собственным значением q'.
Теперь мы покажем, что ф (q') является производящей функцией для
собственных функций оператора энергии осциллятора в координатном
представлении. Последние записываются в виде
ип (я') = <Я'\ ">• (3.139)
Выражение (3.133) можно записать в виде
оо
ф (q',x) = e^ 2 -?=¦ <в'|п>, (3.140)
п-о V п\
так что если мы найдем функцию ф (q', х) и разложим в степенной ряд
по х, то коэффициенты при е~х'!* (W^n!)
дадут прямо ип (qf). Поэтому ф (q', х) - производящая
функция для ип (q').
Теперь мы вычислим функцию ф (q') из (3.138). С помощью (2.20а) выразим
оператор а+ через переменные р и q. Тогда выражение (3.138) приобретет
вид
3.7]
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
181
ехр
Если мы теперь используем формулу (3.20) из теоремы 4 и положим А = х
(2Н(й)~'/гщ и В == - ix (27ш)_1/гр, то в силу равенства - 1/2 [А, В] = -
лт2/4 выражение (3.141) принимает вид
ф (g') = е-3х2/4 X
ж^грд ехр [-.гг (2М>)^р] 10). (3.142)
С помощью формулы (1.160) последнее выражение можно записать в виде
ф(д') =
= е-3*г/4ехр х ^-) ^g'J <g' | ехр [-ix (2Н(й)~Ч*р] 10). (3.143) Согласно
(1.130) получаем
i^p
<?'
Если положить
ехР(^-) = <д' + 1 = -xj/ 2щ" '
то формула (3.143) преобразуется к виду
(о \'/" ,1 / / -,/ Л
(3.144)
(3.145)
ф (д') = е-з^/4 ехр Vj\?' - * У 2^\0/- (ЗЛ46)
Но из формулы (2.66) имеем
МУ') = <?' |0> = ( -т) • (3-147)
Поэтому
"0 = <?'-*}/ tl°>=_
(3.148)
/ to О А Г (О (?' - a; V Л/2(d)2
(я" J Р L 2К
Таким образом, выражение (3.146) приобретает следующий вид:
ш \Ч* Г /ш \V*
^(?') =(r)'V8X,/4eXlq\
X
X ехр
\{q' - х У Й/2ш)2 2Н
(3.149)
Это и есть искомая производящая функция для <д' | п).
182
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 111
Вектор состояния | я))), который был использован для получения
производящей функции, в то же время представляет собой волновой пакет с
минимальной неопределенностью. Для того чтобы убедиться в этом, покажем,
что
ApAq = ~, (3.150)
где
(3.151)
(Ар)2 = <ф | р2 | ф> - <ф | р | ф>2,
(Ад)2 = <ф | д2 | ф> - <ф | д | ф>2
и | ф> определяется формулой (3.133).
Воспользуемся соотношением (3.133):
| ф> = е-^/2еха+ | 0). (3.152)
В дальнейшем нам понадобятся средние значения некоторых операторов в
состоянии | ф) (предполагаем, что х вещественно):
(а)=х, (а2) = х2, (3 153)
<а+> = х, (а+2у=х2,
<а+а> = х2, <аа+у = х2 + 1.
Чтобы доказать (3.153), воспользуемся следующим соотношением:
(а) = <ф | а [ ф) = е-*2 <0 j ехааеха+10) =
= егх* <01 еха (еха+а + хеха+) | 0>, (3.154)
где для получения последнего равенства использовано соотношение (3.39а).
Так как а | 0) = 0, то последнее выражение с помощью соотношения (3.134)
приводится К виду
<а> = хе~х* <0 | ехаеха+ | 0) = х <ф [ ф> = х.
Аналогично, применяя дважды формулу (3.39а), можно показать, что <а2} =
х2. Подобным же образом получаем
<а+> = <ф | а | ф>* = <ф | а+ \ ф> = х, <а+2> = <а2)' = х2.
3.7]
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
183
Для того чтобы определить величину (а+а), выпишем соотношение
(а+а) = е~х' <0 | ехаа+аеха+10).
Как мы показали выше (см. (3.154)), вектор ае*а+|0> можно представить в
виде
аеха+ |0> = xexa+\Q).
Следовательно, норма этого вектора равна
<0 | ехаа+аеха+ 10> = х2 <0 | ехаеха+ | 0> = х2ех\
Последнее равенство возможно в силу соотношения (3.134). Итак,
