Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
(2.40) и (2.41), можно получить
(т | 1 0) =
Если мы подставим (4.21) в формулу (4.20) и снова используем соотношение
(4.16), то получим
Pm,0(f) = e-|g(')l' ПС(^)1|ЗГП . (4.22)
Эта функция распределения вероятности называется пуас-соповским
распределением фотонов по энергетическим собственным состояниям. Сумма
вероятностей по всем состояниям все время остается равной единице:
оо оо
S рт, 0 (t) = е- 1 с (О I2 2 = 1 • (4.23а)
т=0 т=0
Пуассоновское распределение возникает под влиянием
напряжения генератора.
Среднее число фотонов в контуре в момент t равно
ОО
= 2 тРп, o(t) = \C (t) I2. (4.23b)
то=о
Сравнивая эту формулу с соответствующей формулой (4.18), видим, что т (t)
= <а+а> = | С (t) |2. Таким образом, для среднего числа фотонов мы
получили один и тот же результат двумя различными способами. Средний
квадрат числа фотонов равен
ОО
т2 (0 = 2 т2рт, о (t) = m (t) [т (t) + 1]. (4.23с)
m=0
Последняя формула характерна для пуассоновского распределения. Дисперсия
для волнового пакета в состоянии с минимальной неопределенностью равна
(Ат)2 = пг2 (t)- [m(t)}2 = т (t). (4.23d)
4.2!i
LC-КОНТУР, ВОЗБУЖДАЕМЫЙ ГЕНЕРАТОРОМ
199
В дальнейшем состояние | ф (t)} мы будем называть состоянием с
минимальной неопределенностью или пуассонов-ским состоянием. Как мы
только что видели, оно получается при возбуждении генератором контура,
находящегося первоначально в состоянии вакуума. Еще раз уместно
напомнить, что волновой пакет в переменных заряд - ток не то же самое,
что в переменных координата - импульс.
Мы подробно обсудили состояние контура и момент t. Теперь нужно более
подробно исследовать свойства предполагаемого исходного состояния
вакуума. Мы обсудим нулевую энергию и нулевые флуктуации заряда и тока в
момент t = 0. До включения генератора гамильтониан системы имел вид
Н = (р2 + соо?а) = Йсо0 (а+а + . (4.24)
Если задано состояние |ф (0)) вида |ф (0)) - ] 0), то из формул (4.18)
легко получить средние значения заряда, тока и энергии в момент t = 0 (z
(0) = 0 = С (0)):
<?> = <о I q I о> = о, <р> = <о | р | о> = о,
<?2> = 2^ ' <р2> = дг ' = °> (4-25)
<Я> = , (Дд)* = Л- , (Ар)2 == -*(r)L.
Как мы видим, в состоянии вакуума средние значения заряда и тока равны
нулю, в то время как их средние квадраты не равны нулю. Таким образом,
заряд испытывает нулевые флуктуации, определяемые^ равенством (A q? =
fil2(о0. Ток также испытывает нулевые флуктуации, определяемые равенством
(Ар)2 = Йсо0/2. Энергия этих флуктуаций равна Йсо0/2. Если бы величины
<?2> и <ц2) для певозбужденного контура равнялись нулю, как это имеет
место в классическом случае, то принцип неопределенности был бы нарушен.
Как известно, соотношение Aq Ар = kl2 есть прямое следствие
коммутационного соотношения [д, р\ = Й/2. Поэтому нулевые флуктуации
величин q и р возникают как следствие квантования контура.
200
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Теперь рассмотрим энергию нулевых колебаний Гт0/2. Она также возникает
вследствие некоммутативности операторов q и р. Однако так как энергия не
абсолютна, то ее можно отсчитывать как раз от уровня нулевых колебаний.
Это значит, что гамильтониан (4.24) можно переопределить следующим
образом:
а средняя энергия равна 7но0<а+а>=0. Энергия нулевых колебаний исчезла в
результате переопределения гамильтониана, а нулевые флуктуации заряда
<д2> и тока <ц2> остались. Они присутствуют всегда, указывая на то, что
принцип неопределенности не нарушен. Так как энергия нулевых флуктуаций
может быть удалена таким тривиальным образом, то мы в дальнейшем будем ею
пренебрегать.
4.3. Квантование линии связи, не имеющей потерь
Другим простым примером контура, легко поддающегося квантовомеханическому
рассмотрению, является линия связи в отсутствие потерь. Ее классические
"уравнения движения" имеют вид
где V (z, t) - напряжение, I (г, t) - ток, a L и С - индуктивность и
емкость на единицу длины. Эти уравнения тривиальным образом сводятся к
одному. Напряжение V и ток I удовлетворяют волновым уравнениям
Н = (р2 + cooq2) ^п- = йи0а+а. (4.26)
Тогда для состояния I 0> мы по-прежнему имеем
<Р> = <0 j | 0> = 0, <?> = <0|д|0> = 0,
(4.27)
дУ - Т 91 - - _ Г -
~дГ - dt ' dz ~ ь dt '
(4.28)
d*V 1 dW
d*I 1 d*I
(4.29)
dz3 c* dt* '
dz* c* dt* '
где с - скорость распространения волн, определяемая
4.3] КВАНТОВАНИЕ ЛИНИИ СВЯЗИ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ ПОТЕРЬ 201
соотношением
Хорошо известно, что волновые уравнения (4.29) имеют решениями волны,
распространяющиеся как в прямом, так и в обратном направлении. В
зависимости от граничных условий получаются стоячие или бегущие волны.
Так как в следующем разделе волновое уравнение исследуется очень
подробно, то здесь мы рассмотрим только одно решение уравнений (4.29) в
виде плоских волн, распространяющихся в прямом направлении. Это решение
мы запишем в виде
V (z, t) = У + а'е= j/±I(z, t),
(4.31)
где z0 - длина рассматриваемой линии, величина а и сопряженная ей
величина а* - произвольные постоянные. Множитель У TkaI'ICz^ введен для
