Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
решения некоторых задач.
168
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
Продифференцируем обе стороны равенства (3.72) по х и получим
I- = "+а/. (3.73)
Обычное правило дифференцирования справедливо, потому что [а+а, / (х)] =
0. Предположим теперь, что мы привели / к нормальной форме и, как всегда,
выполняется равенство
/ = /(п), (3.74)
хотя формы левой и правой частей различны. Если /(п) - нормальная форма
оператора, то 3/(") 1дх - также нормальная форма, но функция а+а/(п) не
приведена к нормальной форме. Мы можем теперь использовать соотношение
(3.39а), чтобы привести правую часть (3.73) к нормальной форме. В
результате мы получим
дх
= а+ fMa +
Э/<">
да +
(3.75)
Теперь обе части равенства представлены в нормальной форме. Из
определения (3.32) функции gW, где gW - функция от а и а+ в нормальной
форме, мы знаем, что
N {g<n> (а, а+)} = (а, а+), (3.76)
и мы можем записать обе части (3.75) в виде
Л{^НМ* + ^Н-
Преимущество равенства (3.77) заключается в том, что под знаком оператора
N величины а и а+ становятся обычными коммутирующими переменными (с-
числами). Поэтому (3.77) - дифференциальное уравнение в частных
производных по обычным переменным, и его решение позволяет получить
нормальную форму Для удобства мы временно опустим символ оператора N и
решим уравнение
(3.77)
dl =. df
3.4]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ
169
где х, а+, а - обычные переменные. Затем применим оператор N к решению:
/Ю(ж, a+a) = N{f}. (3.79)
Это и есть искомая нормальная форма /(п).
Легко решить уравнение (3.78), если сделать следующую замену переменных.
Положим
х + In а+ = I, х = ~ (I + г]),
х - In а+ = т], а+ = е'/з (3.80)
С помощью обычных правил дифференцирования получаем
д д д _ , д _ д д /Ч \
~д7 = ^ ~дг[ ' а ~^+ ~ ~ Irj"
В новых переменных уравнение (3.78) приводится к виду
2%- = ае'1 • К-ч)/. dr] J
После интегрирования получаем
21n/=-2aeV.R-t.)+g(|), (3.82)
где g (|) - произвольная функция интегрирования, которую можно найти
следующим образом. Из равенств (3.80) видно, что если х = 0, то т] = -|.
Если в формуле (3.72) положить х = 0, то тогда /(0, а+а) = 1, и из
равенства (3.82) для функции g (?) получается следующее выражение:
g Ш = 2а*.
Если мы подставим это выражение в (3.82) и найдем из него функцию /,
перейдя при этом снова к переменным х и а+, то получим
/ = ехр [(ех - 1) а+а].
Поэтому, в соответствии с равенством (3.79), нормальная форма функции /
принимает вид
еха+а ^ j(n) - ft {еХр Це* _ ^ д+д] (3.83)
170
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
что согласуется с нашим предыдущим результатом. Мы можем записать
выражение (3.83) также следующим образом:
СО СО
еха+а _ ^ (а+а)т = 2 ^ ~ т а+тат. (3.84)
т= о т=о т'
Следует снова отметить, что
оо
N {ехр (ха+а)} = 2 а+тат (3.85)
т=о
и это разложение не равно ехр (ха+а).
Разработанная здесь техника нормального упорядочения оказывается полезной
в дальнейшем при решении уравнения Шредингера *) и уравнения для
статистического оператора (гл. VI), когда гамильтониан является функцией
от а и а+. Она полезна также и в том случае, когда гамильтониан является
явной функцией времени.
3.5. Решение уравнения Шредингера с помощью нормального упорядочения.
Гармонический осциллятор с вынуждающей силой
В разделе 1.14 мы показали, как можно решить уравнение Шредингера для
неконсервативной системы с помощью техники последовательных приближений
(см. (1.211)). В квантовой электронике имеется ряд простых задач, таких,
как гармонический осциллятор с вынуждающей силой (см. (3.28)), в которых
более удобна техника нормального упорядочения, развитая в двух предыдущих
разделах.
Уравнение Шредингера
-S' I 'l* (0> = (3-86)
имеет решение в форме
К(*)> = U(t, г0)|ф(*о)>> (3-87)
*) Непосредственное применение этой техники для решения уравнения
Шредингера было подсказано автору доктором Геффне-ром из Станфордского
университета.
3.5]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
171
где U удовлетворяет уравнению
ih^ = HU (3.88)
при начальном условии
U (tB, to) = I. (3.89)
Пусть гамильтониан задан в виде
Я = Я<"> (a, e+, t), (3.90)
т. е. предполагается, что гамильтониан приведен к нормальной форме. На
практике обычно это очень легко сделать. В соответствии с (3.43) запишем
этот гамильтониан в виде
Н(п) = ^ him(t)a+lam, (3.91)
I, т
где коэффициенты разложения htm (t) являются с-числами.
Предноложим, что функция U нриведена к нормальной форме. Как всегда,
U = тпК (3.92)
Уравнение (3.88) можно записать теперь следующим образом:
ih •Ш!И= 2 hlm(t)a+'amU(nK (3.93)
dt l, т
Левая часть этого уравнения записана в нормальной
форме, а правая часть не приведена к нормальной форме. Для приведения
выражения amZ7(n) к нормальной форме мы можем использовать теорему 8 (см.
(3.45)). Тогда уравнение (3.93) принимает вид
" {iS Т} - S ")"+1У {(а + ^г)" !/<"}=
= N jS hlm (t) d+1 (a + J+y ?/(")} , (3.94)
где последнее равенство справедливо потому, что функция в правой части
задана в нормальной форме. Для того чтобы
