Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
<г°аев 10> = (а + 10> = ^ 10>, (3.60)
и равенство (3.58) приобретает вид
a+e~GaeG 10) = а+ | 0) = ^ | 0). (3.61)
Используя соотношение (3.53), приводим выражение (3.61) к виду
"+<В+2С"+ + ...)|0>Ц^ + ^Л + §Л*+...)|0>.
(3.62)
Приравняв в обеих частях равенства (3.62) коэффициенты при одинаковых
степенях а+ и воспользовавшись соотношением (3.55), получим
^- = 0 ~^А(х, у) = 0,
Ц = В-^В{х, у) = уех,
д^ = 2С^С = 0 = D = ...
Отсюда следует, что G (х, у, а+) = уеха+, и лемма доказана. Таким
образом, показано, что форма решения выбрана правильно.
Доказательство 3. Кроме приведенных выше двух доказательств существует
еще другое, более простое доказательство леммы с помощью разложения в
степенной ряд.
164
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
Воспользовавшись соотношением (2.40), можно записать
еха+аеуа+ | 0> =
= е'Ха+° 2 1°> = еха+а 2 -7=7 l(tm)>- (3-63)
П=0 ' 771=0 ' Ш'
Далее, с помощью равенства (3.50) получаем
еха+аеуа+ | Q) =
СО оо
ттх п+т
= S y-f=- |m> = 2 (e*0)m V I °> = exP (еЖРа+) I °>-
771=0 ' 771=0
Здесь снова было использовано соотношение (2.40), а последнее равенство
получено путем суммирования ряда.
Теорема 10. Если / - любая функция оператора а+а, то ее нормальная форма
имеет вид
/"<"+")- 2 ?ша+'а'=§, s
г- 0 г=0 6=0
(3.64)
где А г/(0) есть г-я конечная разность:
До/(0) =5/(0), Д/(0)з/(1)-/(0), Д*/(0) = /(2)-2/(1)+/(0),
А7(0)^2
8=0
С помощью этой теоремы любая функция от а+а может быть очень просто
приведена к нормальной форме.
Доказательство. Рассмотрим разложение функции от а+а, которая задана в
нормальной форме, в следующий степенной ряд:
оо
/<п) (а+а) = 2 Сга+Гаг. (3.65)
г=о
3.4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ 165
Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения Сг. Мы можем
записать функцию /(п) в виде разложения (3.65), а не в общей форме
(3.43), именно потому, что / специальным образом зависит от аргументов а
и а+, точнее, только от комбинации а+а.
Прежде всего покажем* что выражение а+ гаг можно записать в виде
а+ гаг = а+а (а+а - 1) (а+а - 2). . . (а+а - г + 1). (3.66)
Формула (3.66) доказывается методом математической индукции. Предположим,
что эта формула справедлива при г = г'. Если умножить обе стороны
равенства (3.66) справа на (а+а - г'), то левая часть (3.66) приобретает
вид
а+ г'аг' (а+а - г') = а+ г'аг'а+а - г'а+ г'аг'. (3.67) С помощью формул
(3.33) получаем
аг'а+ = а+аг' г'аг'~1.
Поэтому равенство (3.67) преобразуется следующим образом;
а+ г'ат' (а+а - г') = а+г' (а+аг' + г'аг'~1) а - г'а+ г'аг' =
= а+r'+1 аг'+1 = а+а (а+а - 1)... (а+а - г').
Отсюда следует, что если (3.66) справедливо для г', то оно также
справедливо и для г' + 1. Так как выражение (3.66) справедливо для г' =
1, то оно справедливо для всех г'. Таким образом, теорема доказана.
Докажем теперь равенство (3.64). Из соотношений
(3.65) и (3.66) мы получаем
оо
/(") (а+а) = 2 6>+а (а+а - 1) (а+а - 2)... (а+а - г + 1).
г=0
Поэтому, если мы применим этот оператор к кет-вектору | ттг>, для
которого а+а | тп} = пг | гп}, то получим
оо
/<п) (а+а) | тп) = = 2 Crm(m - l)...(w-r+1) j m>*
r=o
166
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
Так как ряд обрывается при г^>тп, где тп - целое число, то суммирование
по г проводится только до г - т. Следовательно, имеем
т
/(т)|то> = 2 Сг (J~r)\ \т>'
r=o v
где тп - 0, 1, 2, . . . Таким образом,
/ (0) = С",
/ (1) = с" + clt / (2) = Со + 2сх + 2! са,
Отсюда определяется постоянная С0. Первые разности равны
/ (1) - / (0) = С, = А/ (0),
/(2) -/(1) = С, + 2Сг = А/ (1),
Отсюда определяем постоянную Сг. Вторые разности равны
/ (2) - 2/ (1) + / (0) = 2!?2 = А2/ (0), / (3) - 2/ (2) +/(!)= 2Сг + 3!С3
= А2/ (1),
Из них мы получаем Са. Если мы продолжим эту процедуру, то найдем, что
cr4'w4i т4пт <-*)¦'<r-s>'
S=0
и, таким образом, теорема доказана.
Частный случай этой теоремы, который часто встречается в дальнейшем,
рассмотрен в следующей лемме.
Лемма. Если х - параметр, то нормальная форма функции ехр (ха+а) имеет
вид
/(") (а+а, х) =
00 ж г
= еха+а = 2 ~ а+ ТаТ = JV {ехр [(еж - 1) а+а]}.
г=0
(3.68)
3.4]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ
167
Прежде всего следует специально подчеркнуть, что N {ехр (ха+а)} =j= N
{ехр Цех - 1)а+а]}. (3.69)
На это мы указывали и ранее.
Доказательство 1. Первое доказательство состоит в прямом применении
теоремы 10. Так как
/ (а+а) = еха+а,
то
/ (г -¦ s) = ex(r~s') и (3.64) приобретает вид
оо Г
fin) = (е*в+")(Я) = 2 J_S (-lytr^a+'a'.
Г-о в=э0
Легко видеть, что сумма по 5 равна
о-гг-2 (7Дгг, <-*)¦'
8-0
так что
/(") (а+а) = е*о+а = 2 ' 7i ^ а+ гаг =
Г=0
= jV {ехр [(ех - 1) а+а]}, (3.70)
и лемма доказана. Последнее равенство следует из определения оператора N.
Очевидно, что справедливо также разложение
С"
= 2 - (а+а)г, (3.71)
г=0 г1
которое равно (3.70), но имеет другую форму. Доказательство 2. Приведем
функцию
/ (х) = eIa+J (3.72)
к нормальной форме с помощью вспомогательного дифференциального уравнения
и техники нормального упорядочения операторов, которая очень полезна для
