Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
172
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
просуммировать ряд (3.94), можно использовать выражение (3.91). Таким
образом,
N\in 4^-Чя<п){а_+'й+ л7* О • (3-95)
Это по-прежнему уравнение Шредингера (3.88), но теперь это уже
дифференциальное уравнение в обычных переменных (с -числах) I, а+, а. Мы
свели операторное уравнение (3.88) к обычному уравнению. Оно отличается
от
(3.88) тем, что в нем в нормальной форме гамильтониана а+ заменено на
а+ и а - на а + д!да+. Таким образом, нужно решить уравнение
ih ~ = Я<"> ^а+, а + U. (3.96)
Тогда решение уравнения (3.95) ?ЛП) получается следующим образом:
?ЛП> = N {?/}, (3.97)
где U - решение уравнения (3.96), которое удовлетворяет условию (3.89).
Результат автоматически представлен в нормальной форме.
Этот же метод нормального упорядочения может быть использован для решения
уравнения Шредингера в представлении взаимодействия. Предположим, что
гамильтониан может быть записан в форме (см. (1.234))
Н = Но + #!, (3.98)
где для простоты мы предположим, что Н0 не зависит от времени, а Н1
зависит от времени. Снова предполагаем, что гамильтониан уже приведен к
нормальной форме. Из соотношения (1.235) следует, что
|iM9> = tf0(<. *о)|Ы0>. . (3.99)
где в рассматриваемом нами случае
Uо (t, t0) = ехр [- *До(*д-М] . (3.100)
Уравнение Шредингера (1.241) приобретает вид
\ = (3.101)
3.5]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
173
где согласно (1.242)
Я1,1 = С7+Я1>8С70. (3.102)
причем по-прежнему предполагается, что гамильтониан Jflt j задан в
нормальной форме. Решение уравнения (3.101) можно записать в виде
I Фг (*)> = W (*, t0) | ф1 (te)y (3.103)
при условии, что функция W удовлетворяет [уравнению
ih^ = HulW, (3.104)
где
W (to, t0) = I. (3.105)
Уравнение (3.104) выводится так же, как и уравнение
(3.88). В результате получается
N {iH т} = N (й+'5 + i+ > *)Win)} • (ЗЛ06)
Чтобы проиллюстрировать рассмотренную выше технику, решим уравнение
Шредингера для гармонического осциллятора с вынуждающей силой в
представлении взаимодействия. Гамильтониан задан формулой (3.28). Введем
обозначения:
Но% = Jicna+a, = М (t) (а + а+),
Я = Нюа+а -f %f (t) (а + а+). (3.107)
Для простоты мы опустили энергию нулевых колебаний в (3.28), хотя ее
легко можно было бы учесть в нашем рассмотрении.
Из формулы (3.100) получаем
Uо (t, ta) = "Н" ('-*•)0+0 (3.108)
и с помощью выражения (3.102) находим
Hi,i(t)~ ft [el" а^а (а. а+) e_i" "+"] f (t) =
= П [ае~(tm) + a+eia <'-'")] / (t), (З.Ю'9)
174
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. til
где последнее равенство следует из теоремы 9 (соотношения (3.47)).
Отметим, что последняя форма для гамильтониана в (3.109)
является нормальной. Уравнение
(3.106) для функции приобретает вид
Д
dt
= N{hf(t)
wm. (3.1Ю)
Для простоты мы опустим оператор N до тех пор, пока не решим уравнение
(3.110), а затем снова введем этот оператор и представим с его помощью
решение уравнения. Итак, нужно решить уравнение
g*(*)a+ + g(f)(e + -Jr)]lF, (3.111)
. dW 1 dt
где введено обозначение
g{t) = /(г)<г*"('-Ч (3.112)
Уравнение (3.111) легко решается, если произвести замену неизвестной
функции
W = ехр [G (t, а, а+)], (3.113)
где G - степенное разложение по переменным а и а+.
В простом примере, который мы сейчас рассматриваем, пробная функция G
выбирается в виде
G (t, а, а+) = A (t) -f- B(t) a -j- С (t) а+. (3.114)
В данном случае нет необходимости учитывать члены более высокого порядка,
в чем читатель легко может убедиться сам. Если мы подставим выражение
(3.114) в формулу (3.113), а потом выражение (3.113) -. в уравнение
(3.111), то после несложных алгебраических преобразований получим
. dG 1 dt
g'(t)a+ -f g(t)(a+ (3.115а)
или
. dA . . dB _ . . cLC _,
1чг+1чга + 1чга+ =
g*{t)a++ g(t)a + g{t)C{t). (3.115b)
3.5]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
175
Приравняем теперь коэффициенты при одинаковых степенях а и а+ в обеих
частях равенства (3.115Ь) и найдем, что неизвестные функции А, В и С
должны удовлетворять следующим уравнениям:
if = s(<)C, if = *<<). if. = *•(<)¦ (З.Ш)
Для того чтобы выполнялось условие W (ta, t0) = I, начальные значения для
А, В и С должны быть выбраны следующим образом:
A ("") = В (to) = С (to) = 0.
Теперь можно записать решения уравнений (3.116), которые удовлетворяют
этим начальным условиям:
t t'
A(t)= -fdt'gwjdt'g^f),
to to
t
B(t) = -ij g(t')dt', (3.117)
^0
t
C(t) = -ijg'(t')dt' = -Bt(t).
to
Тогда функция WC") (t, t0) приобретает вид
W<n) (t, t0) - eA {exp [В (t) a] exp [C (f) a+]} =
= e4(0eC(l)a+eB(')O. (3.118)
Очевидно, что это решение представлено в нормальной форме. Если
объединить это выражение с функцией U0, то получим решение уравнения
Шредингера для гармонического осциллятора с вынуждающей силой в следующем
виде:
|фв (0> = U (t, t0) |ф (to)},
где
U (t, t0) = e~iu> ("-'¦>) а+аес СО а+ев СО СО. (3.119)
Отметим, что хотя WCn) задано в нормальной форме, но это не относится к
функции U. Функцию U легко привести к нормальной форме с помощью формулы
(3.46)
176
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
