Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим встречающийся на практике пример, когда применение этого
метода совершенно безнадежно.
Пример 9. Положим
П", "+) = *"+" = 2
771=0
Это степенное разложение функции ехр (а а+а). Таким образом, возникает
проблема приведения к нормальной форме члена
(а+а)т = (а+а • а+а • а+а ... а+а)
с помощью соотношения (3.29). Это в лучшем случае очень утомительный
процесс. Поэтому в дальнейшем для решения этой задачи мы разработаем
некоторые косвенные методы. С другой стороны, как было показано выше,
вычисление N (ехр аа+а} является тривиальной задачей.
3.4. Алгебраические свойства бозе-операторов
Расчет средних значений любых функций от операторов а и а+ значительно
упрощается, если эти функции предварительно представлены в нормальной
форме. В этом разделе мы выведем несколько теорем, которые упрощают
приведение функций к нормальной форме.
Теорема 5. Если I - целое число, то тогда
[а, а+1] = /а+(*-"= ^ijr" f а+> = - lal^ = - •
(3.33)
Эти формулы аналогичны формулам (1.118). Их можно вывести методом
математической индукции из соотношения (3.29). Доказательство
предоставляем читателю.
Определим более точно, как понимать символы д/да и д/да+, когда величины
а и а+ являются операторами. Не будет ошибкой, если мы определим
дифференцирование как формальный процесс, который задан формулами (3.33).
Чтобы быть более точными, мы можем заменить операторы а или а+
операторами а х или а+ + где х есть с-число,
3.4]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ
157
и записать
Iim (а+ + ХУ =
х-И)
я +1
= lim I (а+ + ж)"-1 = 1а+ <*-" = ^, (3.34а)
х-*-о да
и аналогично
йг = й^(в + ж)г' (3-34Ь)
Теоремаб. Пусть х есть с-число и / (а, а+) - функция, которая может быть
разложена в степенной ряд по а и а+. Тогда
еха/ (а, а+) е_хо = / (а, а+ + ж), (3.35а)
е-ха + у a+j gxa + _ дя ^ а+). (3.35Ь)
Доказательство. Для того чтобы доказать эту теорему, воспользуемся
равенством ехр (ха) ехр (-ха) = 1 и тем, что / можно разложить в
степенной ряд. Тогда получаем для (3.35а)
exaf(a, а+)е~ха = f(exaae~xa, ехаа+е~ха) = f(a, ехаа+е~ха).
(3.36)
Эта формула доказывается таким же методом, каким была доказана теорема 1.
С помощью теоремы 3 и соотношений (3.14) и (3.29) можно убедиться в том,
что
ехаа+е~ха - а+ + х [а, а+] = а+ -ф- х. (3.37)
Все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Из формул (3.36) и (3.37)
следует уравнение (3.35а). Аналогичным образом доказывается формула
(3.35Ь). Отметим, что эта теорема справедлива также и в том случае, когда
функция / представлена в нормальной форме; при этом функции (а, а+)
и /(п) (а, а+) еха+ не будут в нормаль-
ной форме. Однако из (3.35) получаем ^
exaj(n) я+) = f(n> a+ _L gxa;
/(О (а, а+) еха + = еха + /("1 (а + х, а+). (3.38а)
158
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
Правые части этих уравнений представлены в нормальной форме, и,
следовательно, с помощью формул (3.22) их можно записать в виде
exaj(n) a-i-j ту |еХр (яд) j(n) а+ -ф- х)},
/<п) (а, а+) еха + == N {ехр (ха+) /<п) (а -|- х, а+)}. (3.38b)
Этот результат показывает, как представить выражения типа е*0/*") и
f(n)exa+ в нормальной форме.
Теорема 7. Пусть / (а, а+) - функция от а и а+, которая может быть
разложена в степенной ряд по а и а+. Тогда
[а, / (а, а+)] = ^ , (3.39а)
[а+, / (а, а+)1 == - ^ . (3.39Ь)
Доказательство. Приведем простое доказательство формулы (3.39а).
Рассмотрим функцию
F (х) - exaf (а, а+) е~ха - / (а, + х). (3.40)
Очевидно, что
F(0)=f (а, а+), (3.41)
и с помощью (3.40) получаем
Ж = [а' F ^ = а+ +
Если теперь перейти к пределу при х -"- 0 в обеих частях этого равенства
и воспользоваться формулой (3.41), то получим
ш" а/(?."+ + *) = [Я) f (в| а+)] = JL , (3.42)
ибо в силу равенства (3.34а) левая часть равенства (3.42) как раз и
является частной производной от функции / (а, а+) по оператору а+.
Аналогично доказывается формула (3.39Ь). Нужно подчеркнуть, что, когда
используются формулы (3.39), всегда должен строго сохраняться порядок
сомножителей в функции /. Применим формулу (3.39а) к функции / = а+аа+2.
Тогда получим, что
[а, а+аа+2] = -(а+аа+2) = 2а+аа+ + аа+2.
Ря-*"
3.4] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ
159
Дадим теперь другое доказательство формулы (3.39а). Предположим, что
каким-то образом функция / приведена к нормальной форме. Тогда / = /(п)
(это не тождество) и разложение /(") в степенной ряд имеет вид
/ (а, а+) = /<"> {а, а+) == 2 2 'я(tm) (3-43)
I т
где ];оэффицпснты разложения fim суть с-числа. Затем получаем
[я,./<"> (я, я+)] =2 2 /ы(я, я+'а(tm)].
I т
Если мы используем результат задачи 1.8,f) и теорему 5 (уравнения
(3.33)), то получим
[я, /<">(я, я+)] 2 /гт [я, я+г] ат = 2
1,т 1,т
Сравнивая этот результат с формулой (3.43), мы видим, что
[я, /<п) (я, я+)] = ¦
Так как / = /(">, то отсюда следует формула (3.39а). Если же функция / не
представлена в нормальной форме, то можно получить сколько угодно
эквивалентных разложений функции / в степенной ряд и доказательство
становится гораздо более трудным. Эта теорема справедлива независимо от
