Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
доказательство этой теоремы было предложено Глаубером (см. [2], т. 1).
Любые два оператора, коммутатор которых есть с-число, например lq, р] =
ih и [а, а+] = 1, удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому неудивительно,
что эта теорема имеет много применений.
Доказательство. Для того чтобы доказать эту теорему, рассмотрим
операторную функцию
/(S)==ewewf (3.21)
где с-число \ является параметром. Если мы продифференцируем функцию
(3.21) по то получим
= Ае^в + е^е^В = (А + f (?), (3.22)
ибо ехр (|Л) ехр (- |Л) = I. Для того чтобы упростить второй член в
круглых скобках, мы можем использовать теорему 3 (формулу
(3.14)). В силу равенства (3.19) все
члены в выражении (3.14), кроме первых двух, обраща-
ются в нуль. Тогда мы получаем
еЫВе-^А = В+ЦА, В]. (3.23)
В результате уравнение (3.22) может быть записано в виде
(3.24)
150
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. Ш
Из соотношения (3.19) следует, что величина А + В коммутирует с [А, В], и
поэтому можно рассматривать эти две величины как обычные коммутирующие
переменные и интегрировать уравнение (3.24) при начальном условии (см.
(3.21))
/ (0) = 1. (3.25)
Решение уравнения (3.24), удовлетворяющее условию
(3.25), имеет вид
/ (I) = е(А+В)1;+У,1?[Л,В] = е(А\гВЩЧ&'[А,\В\ш (3.26)
Последнее равенство в (3.26) следует из того, что A -j-В коммутирует с
[А, В]. Если мы теперь приравняем (3.21) и (3.26), положив | = 1, и
умножим обе части полученного равенства справа на ехр (-V2 [А, В}), то
придем к формуле (3.20). Доказательство второго равенства в (3.20)
предоставляем читателю в качестве упражнения.
Применим формулу (3.20) в частном случае, когда А = Кр, В -- р<7, где [q,
р] - ih и К, ц - параметры. Тогда согласно (3.20) получим
еу.Рт = е>Фт ехр (3.27)
2. БОЗЕ-ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ
В шестой и седьмой главах мы встретимся с решением квантовых задач, в
которых используются операторы рождения и уничтожения бозонов. Это,
например, задача о расчете средних значений операторов, которые являются
функциями от а и а+. Знание таких средних значений операторов позволяет
проводить сравнение теории и эксперимента. Кроме того, в дальнейшем
возникнет необходимость решать уравнения Шредингера, содержащие бозе-
операторы.
Одним из примеров является осциллятор, находящийся иод действием внешней
вынуждающей силы, гамильтониан которого имеет вид
Н =h(s> (а+а Д-1/2) Д- %{ (t) (а + а+). (3.28)
Здесь функция / (t) определяется внешней вынуждающей
3.3]
НОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
151
силой. Так как гамильтониан зависит от времени, то описываемая этим
гамильтонианом система неконсервативна. В данный момент единственный
метод, который имеется в нашем распоряжении для решения даже такой
простой задачи,- это решение с помощью громоздкой итерационной формулы
(1.211). Наша цель заключается в том, чтобы развить для решения таких
задач гораздо более сильную операторную технику. Эта техника основана па
понятиях о нормальном упорядочении операторов и о нормальной форме
функции от операторов. Эти понятия мы введем в следующем разделе. Далее
мы докажем ряд важных теорем о бозе-операторах. Эти теоремы окажутся
очень полезными в шестой и седьмой главах.
3.3. Нормальное произведение, оператор нормального упорядочения и
нормальная форма
Бозе-онераторы а и а+ удовлетворяют соотношениию коммутации
[я, а+] = 1. (3.29)
Нас снова интересуют такие функции от операторов а, и а+, которые можно
записать в нескольких эквивалентных формах, используя (3.29). Например,
функция
/i (я, а+) = аа+ (3.30а)
и функция
/2 (я, я+) = а+а -I- 1 (3.30 Ь)
равны между собой в силу соотношения (3.29), но они имеют разные формы.
Поэтому две функции могут быть равны как операторные, но не тождественно
равны по форме.
В любом выражении, содержащем произведение операторов рождения и
уничтожения, подобном, например, выражениям Д или /2, произведение
называется нормальным, если все операторы уничтожения находятся справа от
всех операторов рождения. Так, произведение Д = яя+ не является
нормальным произведением, в то время как произведение /2 - 1 = я+я
является нормальным произведением. Вообще по определению, если 1тт -
целые числа, то произведение а+1ат является нормальным произведсни-
152
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. Ill
ем, а произведение ата+1 не является нормальным произведением.
Определим далее оператор нормального упорядочения N*), который
применяется к любой функции f (а, а+), следующим образом.
Предположим, что а и я+ - обычные коммутирующие переменные (с-числа).
Отметим этот факт черточкой над величинами а и а+. В результате величины
а и а+ становятся двумя различными с-числами и коммутируют друг с другом.
Выберем функцию / (а, а+) в форме произвольного степенного ряда от двух
переменных, в котором коэффициенты разложения являются с-числами.
Определим оператор нормального упорядочения с помощью следующих
соотношений:
N {/х (а, а+) + /2 (а, а+)} = N {/х (а,"+)} -f N {/2 (а, а+)},
(3.31с)
где I и т - целые числа, с - произвольное комплексное число, а I -
