Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Jder1 (е) -1 J= J JL. j - a (e')] ds'. (7.13)
(7.14)
ч
Рис. 7.3. Функция в(є)/(и—є) (1) и возможный вид интегральной кривой уравнения (7.14) (2)
0 C0
1 г
© (ео) — 0; 0(є) я* в; (є—е0); 0;~6/єо,
0(1) = 0; 0 (е) ~ 10' I (1 —є); |в;|~<т(1).
(7.15)
е = є0 + Cexp (A Z0X), а характерная толщина заднего фронта ~ их.
204
Вблизи точки є = I, ті = 0 уравнение (7.14) принимает вид
Характеристическое уравнение имеет вещественные корни [если 7 (х — 1)/2 >> (у j 0( I)1/2] одного знака (узел):
Можно ожидать, что, как и в случае, разобранном в работе [10],
является предельной-при t —OO для всех монотонных решений уравнения рассматриваемого вида.
Полученное выражение имеет простой физический смысл: в системе координат, движущейся с дрейфовой скоростью ЬеЕ+, волна ионизации распространяется благодаря электронной диффузии на характерный размер ~(DeTi)1 ^29 где
— характерное среднее время между ионизирующими соударениями, так что толщина переднего фронта порядка
а характерная скорость ^(DeIti)1 /2, что отражено вторым слагаемым в выражении (7.19). При у > 1 получим
Это условие означает, что скорость направленного к аноду стримера в тянущем поле совпадает по порядку величины с дрейфовой скоростью.
Легко проверить, однако, что в условиях эксперимента, например в ксеноне [15] при Е+ ~ IO5 в!см и давлении порядка 300 мм рт. ст., оба слагаемых скорости имеют один и тот же порядок величины. Строго говоря, это означает, что при таких условиях в уравнении (7.6) следует удерживать диффузионный член. Это существенно усложнит анализ, сохранив, однако, тот же качественный характер рассмотрения.
Поскольку второе слагаемое в уравнении (7.19) является резкой функцией напряженности электрического поля, то возможна бо-
dr\/de = у [|0; I (1 — є)—rj (к— 1)] г!-1.
(7.16)
(7.17)
Отсюда получаем условие для скорости
и> 1+21^1011/7.
(7.18)
или в размерном виде
«>6еE+ + 2]/DebeF,+ rx(Е+).
скорость
u = beE+ + 2Y DebeE+<x(E+)
(7.19)
т* ~ [6, ?+Ct(Elf)]-1
ЮМЕ+) 6,?+]]»/*.
beE+ »(Djxi)iI2.
205
лее крутая зависимость скорости стримера от поля по мере распространения стримера, что и наблюдалось, по-видимому, в экспериментах Тимма {16].
Можно показать, что диффузионная поправка к скорости стримера (7.19) не может превышать слагаемое, соответствующее дрейфовой скорости ЬеЕ+. Рассматривая уравнение (7.4) при ?->оо, получаем оценку сверху для электронной температуры Te на + оо:
еЕ+II > a (Te). (7.20)
Условие (7.20) физически означает, что на ионизацию расходуется только часть джоулева тепла, выделяющегося перед фронтом. Оценивая диффузионный член в формуле (7.19) с помощью этого неравенства, а также используя связь коэффициента диффузии и подвижности, имеем
V De beE+a(E+) < be Е+ У TZTiT.
Отсюда видно, что второе слагаемое в формуле (7.19) в условиях применимости данного рассмотрения всегда меньше первого. По этой причине механизм электронной диффузии не может обеспечить распространение направленного к катоду стримера, для рассмотрения которого необходим учет переноса излучения.
Устойчивость фронта стримера. Приближенный способ решения системы уравнений (7.1) — (7.3) позволяет найти невозмущенное состояние в задаче об устойчивости фронта стримера. При этом не требуется предположения у 1 и легко построить метод последовательных приближений, уточняющий найденное решение. Для фактического нахождения функций Ne (§), Ni (?) и E (I) с требуемой точностью следует выполнить несколько итераций.
Заменяя в уравнениях (7.1) и (7.2) напряженность поля E на его асимптотическое значение на + оо и обозначая, как и раньше, E (+оо) = E+, E (— оо) получаем
-u^ + beE±^-De-^ = a(E±)beE±Ne-Ne/v, (7.21) -u^- = a(E±)beE±Ne-N-e/x. (7.22)
Вместо напряженности поля E введем потенциал ср:
Ex= —dcp/dl = —E
и запишем уравнение Пуассона
dhpldl* = -Ane (Ni — Ne). (7.23)
Решая уравнение (7.21), получаем: при I > 0 .
Ne = A1 exp (-IlL1) + A2 exp (- IfL2) t (7.24)
206
где
1/('
1 и—be E+ ,1/7«—ЬеЕ+\г а(Е+)ЬеЕ+ — 1/х
L i,2 2De w V 2De J Dg
при К О
Ne = A3exp(l/L3), (7.25)
где _______________________________
1 и—ЬеЕ_ . ч /"/и—ЬеЕ_\2 , 1/т—а(Е_)ЪеЕ_
L3 2 De |/ V 2Z>e / De
Подставляя это решение в уравнение (7.22), находим Ni: при і > О
= «(Е+) beE+ — \l%_ [А ^ ехр (_|/Li) + ехр (_g/L>)]; (7.26) и
при К О
= 1/т-а(?-)&.E- Ls ^ ехр (|/1з)_ (7>27)
и
Подставляя выражения (7.24) — (7.27) в уравнение Пуассона (7.23) и обозначая ср (—оо) = ф_, получаем: при ? > О
Ф= _4яeL\ A1(LJ11— 1)ехр(—VL1)-
-AneL22 A2 (L2Ilz-1) ехр (-IIL2)+ Е+ g; (7.28)
при к О
Ф= -AneLl A3(L3Zl3-X) ехр (|/13) + ?-Е + ф- (7-29)
Здесь
1 _ <х(Е+)ЬеЕ+—1/т .
- , 12 — *1»
Z1 w
1 _ 1/т—а(Е-)ЬеЕ-h и
При этом предполагается, что
a (E+) be Е+ > 1 /х > а (?_) 6е
Найденные решения (7.24) — (7.29) требуется сшить при 1 = 0 с учетом условий:
AUo-=AU0+; ^Io-= ли0+;
{DedNem+ (и—beEJ)Ne} I0- =
= {De dN'/dt + Iu - be E+) Ne} I0+ ;
