Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из (6.42) можно получить значения ф2, ф22 и ф222 для данной модели:
2/з
<fzz = ®zz(Z = a> P = 0) = E0
!±І_2Х]
4/з
Фг22 ^ZZZ P 0) E0
16а/3
; (6.43) (6.44) . (6.45)
Подставляя выражения (6.43) — (6.45) в- (6.41), получаем dR/da = 0. (6.46)
186
Отсюда следует, что
R = const=г0.
(6.47)
Следовательно, для выбранной модели радиус кривизны поверхности стримера вблизи его концов остается постоянным во время развития стримера и равным первоначальному значению радиуса г0 сферы в момент лавино-стримерного перехода.
Этот результат позволяет сразу получить аналитические выражения для скорости, длины и ширины стримера в процессе его раз-
Рис. 6.2. Зависимость скорости распространения стримера от его длины в неоне [5]
16 I1MM
вития. Действительно, скорость стримера определяется соотношением
2 /3
у = |а| = |6фг| = 6?0-
г aA-f f
а (fl*—/*) In -SJ--2-
L a—f а_
(6.48)
Используя формулу (6.39) для радиуса кривизны с учетом того, что R = const = г0, получаем
2фг Qi-/2
R
Га.
ф ZZ а
Выразим f через г0 и а и подставим в (6.48):
V = ЬЕа
2 (а2—QA0)3/2
(6.49)
(6.50)
O-(O2-Or0)1/2
Соотношение (6.50) выражает зависимость скорости стримера от его длины. Когда а г0, оно принимает более простой вид:
а/гв
v = bE,
(6.51)
где е = 2,718...
Интегрируя соотношение (6.51) по времени, получаем зависимость длины стримера от времени:
Г ЬЕ0 ,Л 1/2 а = а0ехр ±(t—*0)j ,
(6.52)
187
где а0 — длина стримера в момент времени t = Z0, когда условие а ^ го Уже выполняется.
Эффективный диаметр стримера в данной модели совпадает с длиной малой оси эллипсоида вращения:
d= 2 (а2—/2)1/2 = 2 VaF0. (6.53)
Рис. 6.3. Зависимость скорости анодного (/) и катодного (2) концов стримеров, а также суммарной скорости стримера (5) от напряженности электрического поля в неоне при давлении 1 ат [3]
Рис. 6.4. Зависимость среднего диаметра стримера от его длины в неоне при давлении 0,8 ат:
-------- теоретическая крирая [6J; значки —
экспериментальные данные [4]
Рис. 6.5. Последовательные сечения поверхностей стримера при его распространении
Таким образом, на основании модели стримера в виде вытянутого вдоль направления внешнего поля эллипсоида вращения, получены следующие зависимости:
1) скорость катодного и анодного стримера одинаковы и растут линейно с напряженностью внешнего поля E0 и приблизительно линейно с длиной;
188
2) длина стримера растет со временем пропорционально
3) ширина стримера растет как корень из длины.
Эти результаты, несмотря на простоту модели, находятся в хорошем качественном согласии с экспериментом (рис. 6.1 — 6.4).
Графики, представленные на этих рисунках, полностью подтверждают качественные результаты данной модели. Количественное сравнение с экспериментом в настоящее время затруднительно, так как важнейший параметр стримера, входящий во все формулы — начальный радиус г0 — известен пока только по порядку величины.
Кроме того, данная модель нуждается в некотором уточнении по следующей причине. Из начального условия (6.54) следует, что в плоскости 2 = 0 поле равно нулю, и так как v = ЬЕ, то в процессе развития стримера все точки этой плоскости остаются неподвижными, т. е. образуется «шейка». Последовательные сечения поверхностей стримера во время его развития поэтому будут иметь вид, несколько отличный от эллипсоида вращения (рис. 6.5). Влияние «шейки» на развитие стримера было учтено в работе [6] и рассмотрено в разд. 6.4.
Покажем, что «истинная» форма стримера действительно близка к эллипсоиду вращения [7]. Уравнение поверхности стримера, как уже говорилось, есть эквипотенциаль Ф (р, z, t) = 0. Это уравнение в неявном виде определяет зависимость р (z, t). Запишем следующее соотношение:
Если разложить результирующее поле на две составляющие Ep и Ez, то можно записать:
Подставляя эти выражения в соотношение (6.54) и заменяя там dpIdt на
6.3. Обоснование выбранной модели
dp Idt = P= ±.ЬЕ9\ dzldt = Z= ±ЬЕг.
(6.55)
(6.56)
= ~(±ЬЕа),
да dt да
где Ea — поле на конце стримера в точке Z = а, получаем
(6.57)
189
Ho из выражения (6.33) следует
др __ д<Ь/дг
Тогда
- —. (6.58)
dz дФ/др Ep к 1
др _ Ep +El . -0.
17“ Ea Ep ¦ (6,59)
Если подставить сюда значения Ep, Ez и Ea для эллипсоида вращения и проинтегрировать обе части получившегося уравнения
по а (вычисления эти очень громоздки и здесь не приводятся), то получим следующие соотношения:
р2<« = (R + z)V(а—z)l(a + z);
(6.60)
При Z=R оба соотношения (6.60) и (6.61), естественно, совпадают.
Поверхность, уравнением которой являются соотношения (6.60) и (6.61), действительно в большей своей части практически не отличается от эллипсоида вращения, точное уравнение которого имеет вид
P = Y^rY I-Z2Ia2. (6.61)
Заметная разница получается лишь в области г ~ 0, т. е. в области «шейки», однако для развития стримера главную роль играет форма его поверхности вблизи концов, поэтому формулы (6.50) — (6.53) являются довольно хорошим приближением. Их преимущество также в том, что они имеют довольно простой аналитический вид.
